Theorem apirr 7705

Description: Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apirr	|- ( A e. CC -> -. A # A )

Proof of Theorem apirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7115	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )
2		reapirr 7677	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> -. x #ℝ x )
3		apreap 7687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ x e. RR ) -> ( x # x <-> x #ℝ x ) )
4	3	anidms 389	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x # x <-> x #ℝ x ) )
5	2, 4	mtbird 630	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> -. x # x )
6		reapirr 7677	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> -. y #ℝ y )
7		apreap 7687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ y e. RR ) -> ( y # y <-> y #ℝ y ) )
8	7	anidms 389	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> ( y # y <-> y #ℝ y ) )
9	6, 8	mtbird 630	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> -. y # y )
10	5, 9	anim12i 331	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( -. x # x /\ -. y # y ) )
11		ioran 701	. . . . . . . 8 |- ( -. ( x # x \/ y # y ) <-> ( -. x # x /\ -. y # y ) )
12	10, 11	sylibr 132	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> -. ( x # x \/ y # y ) )
13		apreim 7703	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) <-> ( x # x \/ y # y ) ) )
14	13	anidms 389	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) <-> ( x # x \/ y # y ) ) )
15	12, 14	mtbird 630	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) )
16	15	ad2antlr 472	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ A = ( x + ( _i x. y ) ) ) -> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) )
17		id 19	. . . . . . . 8 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( x + ( _i x. y ) ) )
18	17, 17	breq12d 3798	. . . . . . 7 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( A # A <-> ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) ) )
19	18	notbid 624	. . . . . 6 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( -. A # A <-> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) ) )
20	19	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ A = ( x + ( _i x. y ) ) ) -> ( -. A # A <-> -. ( x + ( _i x. y ) ) # ( x + ( _i x. y ) ) ) )
21	16, 20	mpbird 165	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) /\ A = ( x + ( _i x. y ) ) ) -> -. A # A )
22	21	ex 113	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> -. A # A ) )
23	22	rexlimdvva 2484	. 2 |- ( A e. CC -> ( E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) -> -. A # A ) )
24	1, 23	mpd 13	1 |- ( A e. CC -> -. A # A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   _ici 6983   + caddc 6984   x. cmul 6986   #_ℝ creap 7674   # cap 7681

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-ltxr 7158  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682

This theorem is referenced by:  mulap0r  7715