Theorem axpre-lttrn 7050

Description: Ordering on reals is transitive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-lttrn 7090. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-lttrn	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <RR B /\ B <RR C ) -> A <RR C ) )

Proof of Theorem axpre-lttrn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 6997	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 6997	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		elreal 6997	. 2 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4		breq1 3788	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
5	4	anbi1d 452	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) ) )
6		breq1 3788	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> A <RR <. z , 0R >. ) )
7	5, 6	imbi12d 232	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) <-> ( ( A <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> A <RR <. z , 0R >. ) ) )
8		breq2 3789	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
9		breq1 3788	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> B <RR <. z , 0R >. ) )
10	8, 9	anbi12d 456	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) <-> ( A <RR B /\ B <RR <. z , 0R >. ) ) )
11	10	imbi1d 229	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( ( A <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> A <RR <. z , 0R >. ) <-> ( ( A <RR B /\ B <RR <. z , 0R >. ) -> A <RR <. z , 0R >. ) ) )
12		breq2 3789	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( B <RR <. z , 0R >. <-> B <RR C ) )
13	12	anbi2d 451	. . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A <RR B /\ B <RR <. z , 0R >. ) <-> ( A <RR B /\ B <RR C ) ) )
14		breq2 3789	. . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( A <RR <. z , 0R >. <-> A <RR C ) )
15	13, 14	imbi12d 232	. 2 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( ( A <RR B /\ B <RR <. z , 0R >. ) -> A <RR <. z , 0R >. ) <-> ( ( A <RR B /\ B <RR C ) -> A <RR C ) ) )
16		ltresr 7007	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
17		ltresr 7007	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> y <R z )
18		ltsosr 6941	. . . . . 6 |- <R Or R.
19		ltrelsr 6915	. . . . . 6 |- <R C_ ( R. X. R. )
20	18, 19	sotri 4740	. . . . 5 |- ( ( x <R y /\ y <R z ) -> x <R z )
21	16, 17, 20	syl2anb 285	. . . 4 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> x <R z )
22		ltresr 7007	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> x <R z )
23	21, 22	sylibr 132	. . 3 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. )
24	23	a1i 9	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) )
25	1, 2, 3, 7, 11, 15, 24	3gencl 2633	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <RR B /\ B <RR C ) -> A <RR C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   <.cop 3401   class class class wbr 3785   R.cnr 6487   0Rc0r 6488   <R cltr 6493   RRcr 6980   <RR cltrr 6985

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-0nq0 6616  df-plq0 6617  df-mq0 6618  df-inp 6656  df-i1p 6657  df-iplp 6658  df-iltp 6660  df-enr 6903  df-nr 6904  df-ltr 6907  df-0r 6908  df-r 6991  df-lt 6994

This theorem is referenced by: (None)