Theorem bccl 9694

Description: A binomial coefficient, in its extended domain, is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bccl	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) e. NN0 )

Proof of Theorem bccl

Dummy variables k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5539	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( m _C k ) = ( 0 _C k ) )
2	1	eleq1d 2147	. . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( 0 _C k ) e. NN0 ) )
3	2	ralbidv 2368	. . 3 |- ( m = 0 -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( 0 _C k ) e. NN0 ) )
4		oveq1 5539	. . . . 5 |- ( m = n -> ( m _C k ) = ( n _C k ) )
5	4	eleq1d 2147	. . . 4 |- ( m = n -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( n _C k ) e. NN0 ) )
6	5	ralbidv 2368	. . 3 |- ( m = n -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( n _C k ) e. NN0 ) )
7		oveq1 5539	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( m _C k ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
8	7	eleq1d 2147	. . . 4 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
9	8	ralbidv 2368	. . 3 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
10		oveq1 5539	. . . . 5 |- ( m = N -> ( m _C k ) = ( N _C k ) )
11	10	eleq1d 2147	. . . 4 |- ( m = N -> ( ( m _C k ) e. NN0 <-> ( N _C k ) e. NN0 ) )
12	11	ralbidv 2368	. . 3 |- ( m = N -> ( A. k e. ZZ ( m _C k ) e. NN0 <-> A. k e. ZZ ( N _C k ) e. NN0 ) )
13		elfz1eq 9054	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... 0 ) -> k = 0 )
14	13	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ k e. ( 0 ... 0 ) ) -> k = 0 )
15		oveq2 5540	. . . . . . 7 |- ( k = 0 -> ( 0 _C k ) = ( 0 _C 0 ) )
16		0nn0 8303	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
17		bcn0 9682	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 -> ( 0 _C 0 ) = 1 )
18	16, 17	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ( 0 _C 0 ) = 1
19		1nn0 8304	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
20	18, 19	eqeltri 2151	. . . . . . 7 |- ( 0 _C 0 ) e. NN0
21	15, 20	syl6eqel 2169	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
22	14, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
23		bcval3 9678	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. NN0 /\ k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = 0 )
24	16, 23	mp3an1 1255	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) = 0 )
25	24, 16	syl6eqel 2169	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
26		0zd 8363	. . . . . 6 |- ( k e. ZZ -> 0 e. ZZ )
27		fzdcel 9059	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID k e. ( 0 ... 0 ) )
28		exmiddc 777	. . . . . . 7 |- (DECID k e. ( 0 ... 0 ) -> ( k e. ( 0 ... 0 ) \/ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) )
29	27, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( k e. ( 0 ... 0 ) \/ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) )
30	26, 26, 29	mpd3an23 1270	. . . . 5 |- ( k e. ZZ -> ( k e. ( 0 ... 0 ) \/ -. k e. ( 0 ... 0 ) ) )
31	22, 25, 30	mpjaodan 744	. . . 4 |- ( k e. ZZ -> ( 0 _C k ) e. NN0 )
32	31	rgen 2416	. . 3 |- A. k e. ZZ ( 0 _C k ) e. NN0
33		oveq2 5540	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( n _C k ) = ( n _C m ) )
34	33	eleq1d 2147	. . . . 5 |- ( k = m -> ( ( n _C k ) e. NN0 <-> ( n _C m ) e. NN0 ) )
35	34	cbvralv 2577	. . . 4 |- ( A. k e. ZZ ( n _C k ) e. NN0 <-> A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 )
36		bcpasc 9693	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
37	36	adantlr 460	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
38		oveq2 5540	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( n _C m ) = ( n _C k ) )
39	38	eleq1d 2147	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( ( n _C m ) e. NN0 <-> ( n _C k ) e. NN0 ) )
40	39	rspccva 2700	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( n _C k ) e. NN0 )
41		peano2zm 8389	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
42		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( n _C m ) = ( n _C ( k - 1 ) ) )
43	42	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( n _C m ) e. NN0 <-> ( n _C ( k - 1 ) ) e. NN0 ) )
44	43	rspccva 2700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( n _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
45	41, 44	sylan2 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( n _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
46	40, 45	nn0addcld 8345	. . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) e. NN0 )
47	46	adantll 459	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( n _C k ) + ( n _C ( k - 1 ) ) ) e. NN0 )
48	37, 47	eqeltrrd 2156	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 )
49	48	ralrimiva 2434	. . . . 5 |- ( ( n e. NN0 /\ A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 ) -> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 )
50	49	ex 113	. . . 4 |- ( n e. NN0 -> ( A. m e. ZZ ( n _C m ) e. NN0 -> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
51	35, 50	syl5bi 150	. . 3 |- ( n e. NN0 -> ( A. k e. ZZ ( n _C k ) e. NN0 -> A. k e. ZZ ( ( n + 1 ) _C k ) e. NN0 ) )
52	3, 6, 9, 12, 32, 51	nn0ind 8461	. 2 |- ( N e. NN0 -> A. k e. ZZ ( N _C k ) e. NN0 )
53		oveq2 5540	. . . 4 |- ( k = K -> ( N _C k ) = ( N _C K ) )
54	53	eleq1d 2147	. . 3 |- ( k = K -> ( ( N _C k ) e. NN0 <-> ( N _C K ) e. NN0 ) )
55	54	rspccva 2700	. 2 |- ( ( A. k e. ZZ ( N _C k ) e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) e. NN0 )
56	52, 55	sylan 277	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N _C K ) e. NN0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 661  DECID wdc 775   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348  (class class class)co 5532   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   - cmin 7279   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   ...cfz 9029   _C cbc 9674

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-iseq 9432  df-fac 9653  df-bc 9675

This theorem is referenced by:  bccl2  9695  bcn2m1  9696  bcn2p1  9697