Theorem bcpasc 9693

Description: Pascal's rule for the binomial coefficient, generalized to all integers K. Equation 2 of [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcpasc	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )

Proof of Theorem bcpasc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 8328	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
2		elfzp12 9116	. . . . . . 7 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) )
3		nn0uz 8653	. . . . . . 7 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
4	2, 3	eleq2s 2173	. . . . . 6 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) )
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) )
6		1p0e1 8154	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 0 ) = 1
7		bcn0 9682	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = 1 )
8		0z 8362	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
9		1z 8377	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
10		zsubcl 8392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 0 - 1 ) e. ZZ )
11	8, 9, 10	mp2an 416	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 - 1 ) e. ZZ
12		0re 7119	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
13		ltm1 7924	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. RR -> ( 0 - 1 ) < 0 )
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 - 1 ) < 0
15	14	orci 682	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 - 1 ) < 0 \/ N < ( 0 - 1 ) )
16		bcval4 9679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( 0 - 1 ) e. ZZ /\ ( ( 0 - 1 ) < 0 \/ N < ( 0 - 1 ) ) ) -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) = 0 )
17	11, 15, 16	mp3an23 1260	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) = 0 )
18	7, 17	oveq12d 5550	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) = ( 1 + 0 ) )
19		bcn0 9682	. . . . . . . . 9 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C 0 ) = 1 )
20	1, 19	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C 0 ) = 1 )
21	6, 18, 20	3eqtr4a 2139	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C 0 ) )
22		oveq2 5540	. . . . . . . . 9 |- ( K = 0 -> ( N _C K ) = ( N _C 0 ) )
23		oveq1 5539	. . . . . . . . . 10 |- ( K = 0 -> ( K - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
24	23	oveq2d 5548	. . . . . . . . 9 |- ( K = 0 -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( N _C ( 0 - 1 ) ) )
25	22, 24	oveq12d 5550	. . . . . . . 8 |- ( K = 0 -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) )
26		oveq2 5540	. . . . . . . 8 |- ( K = 0 -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N + 1 ) _C 0 ) )
27	25, 26	eqeq12d 2095	. . . . . . 7 |- ( K = 0 -> ( ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) <-> ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C 0 ) ) )
28	21, 27	syl5ibrcom 155	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( K = 0 -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
29		simpr 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
30		0p1e1 8153	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 1 ) = 1
31	30	oveq1i 5542	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = ( 1 ... ( N + 1 ) )
32	29, 31	syl6eleq 2171	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
33		nn0p1nn 8327	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
34		nnuz 8654	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
35	33, 34	syl6eleq 2171	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
36		fzm1 9117	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) )
37	36	biimpa 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) )
38	35, 37	sylan 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) )
39		nn0cn 8298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
40		ax-1cn 7069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
41		pncan 7314	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
42	39, 40, 41	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
43	42	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... N ) )
44	43	eleq2d 2148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) <-> K e. ( 1 ... N ) ) )
45	44	biimpa 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) -> K e. ( 1 ... N ) )
46		1eluzge0 8662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
47		fzss1 9081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
48	46, 47	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N )
49	48	sseli 2995	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ( 0 ... N ) )
50		bcp1n 9688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) )
52		bcrpcl 9680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
53	49, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
54	53	rpcnd 8775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) e. CC )
55		elfzuz2 9048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
56	55, 34	syl6eleqr 2172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. NN )
57	56	peano2nnd 8054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N + 1 ) e. NN )
58	57	nncnd 8053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N + 1 ) e. CC )
59	56	nncnd 8053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. CC )
60		1cnd 7135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 e. CC )
61		elfzelz 9045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ZZ )
62	61	zcnd 8470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. CC )
63	59, 60, 62	addsubd 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
64		fznn0sub 9075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
65		nn0p1nn 8327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
67	63, 66	eqeltrd 2155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) e. NN )
68	67	nncnd 8053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) e. CC )
69	67	nnap0d 8084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) # 0 )
70	54, 58, 68, 69	div12apd 7913	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( N + 1 ) x. ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) )
71	67	nnrpd 8772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) e. RR+ )
72	53, 71	rpdivcld 8791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) e. RR+ )
73	72	rpcnd 8775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) e. CC )
74	58, 73	mulcomd 7140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( N + 1 ) ) )
75	70, 74	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( N + 1 ) ) )
76	58, 62	npcand 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) + K ) = ( N + 1 ) )
77	76	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) + K ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( N + 1 ) ) )
78	73, 68, 62	adddid 7143	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) + K ) ) = ( ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) + ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) ) )
79	75, 77, 78	3eqtr2d 2119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) + ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) ) )
80	54, 68, 69	divcanap1d 7878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) = ( N _C K ) )
81		elfznn 9073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )
82	81	nnap0d 8084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K # 0 )
83	54, 68, 62, 69, 82	divdivap2d 7909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) = ( ( ( N _C K ) x. K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) )
84		bcm1k 9687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )
85	59, 62, 60	subsub3d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - ( K - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) - K ) )
86	85	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) = ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) )
87	86	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) )
88	84, 87	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) )
89		fzelp1 9091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
90	57	nnzd 8468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
91		elfzm1b 9115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
92	61, 90, 91	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
93	89, 92	mpbid 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
94	59, 40, 41	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
95	94	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
96	93, 95	eleqtrd 2157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
97		bcrpcl 9680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) e. RR+ )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) e. RR+ )
99	98	rpcnd 8775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) e. CC )
100	81	nnrpd 8772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. RR+ )
101	71, 100	rpdivcld 8791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) e. RR+ )
102	101	rpcnd 8775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) e. CC )
103	68, 62, 69, 82	divap0d 7893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) # 0 )
104	54, 99, 102, 103	divmulap3d 7911	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) = ( N _C ( K - 1 ) ) <-> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) ) )
105	88, 104	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) = ( N _C ( K - 1 ) ) )
106	54, 62, 68, 69	div23apd 7914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) x. K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) )
107	83, 105, 106	3eqtr3rd 2122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) = ( N _C ( K - 1 ) ) )
108	80, 107	oveq12d 5550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) + ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) ) = ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) )
109	51, 79, 108	3eqtrrd 2118	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
110	45, 109	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
111		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K = ( N + 1 ) -> ( N _C K ) = ( N _C ( N + 1 ) ) )
112	33	nnzd 8468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
113		nn0re 8297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
114	113	ltp1d 8008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> N < ( N + 1 ) )
115	114	olcd 685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) < 0 \/ N < ( N + 1 ) ) )
116		bcval4 9679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) < 0 \/ N < ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( N + 1 ) ) = 0 )
117	112, 115, 116	mpd3an23 1270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( N _C ( N + 1 ) ) = 0 )
118	111, 117	sylan9eqr 2135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
119		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K = ( N + 1 ) -> ( K - 1 ) = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
120	119, 42	sylan9eqr 2135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( K - 1 ) = N )
121	120	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( N _C N ) )
122		bcnn 9684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N _C N ) = 1 )
123	122	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C N ) = 1 )
124	121, 123	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = 1 )
125	118, 124	oveq12d 5550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( 0 + 1 ) )
126		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K = ( N + 1 ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
127		bcnn 9684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = 1 )
128	1, 127	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = 1 )
129	126, 128	sylan9eqr 2135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = 1 )
130	30, 125, 129	3eqtr4a 2139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
131	110, 130	jaodan 743	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
132	38, 131	syldan 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
133	32, 132	syldan 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
134	133	ex 113	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
135	28, 134	jaod 669	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
136	5, 135	sylbid 148	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
137	136	imp 122	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
138	137	adantlr 460	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
139		00id 7249	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
140		fzelp1 9091	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
141	140	con3i 594	. . . . 5 |- ( -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> -. K e. ( 0 ... N ) )
142		bcval3 9678	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
143	142	3expa 1138	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
144	141, 143	sylan2 280	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
145		simpll 495	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. NN0 )
146		simplr 496	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
147		peano2zm 8389	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
148	146, 147	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
149	39	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> N e. CC )
150	149, 40, 41	sylancl 404	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
151	150	oveq2d 5548	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
152	151	eleq2d 2148	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
153		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> K e. ZZ )
154	1	nn0zd 8467	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
155	153, 154, 91	syl2anr 284	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
156		fzp1ss 9090	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
157	8, 156	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
158	31, 157	eqsstr3i 3030	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
159	158	sseli 2995	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
160	155, 159	syl6bir 162	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
161	152, 160	sylbird 168	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
162	161	con3dimp 596	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> -. ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
163		bcval3 9678	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( K - 1 ) e. ZZ /\ -. ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = 0 )
164	145, 148, 162, 163	syl3anc 1169	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = 0 )
165	144, 164	oveq12d 5550	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( 0 + 0 ) )
166	145, 1	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
167		simpr 108	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
168		bcval3 9678	. . . 4 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = 0 )
169	166, 146, 167, 168	syl3anc 1169	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = 0 )
170	139, 165, 169	3eqtr4a 2139	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
171		simpr 108	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
172		0zd 8363	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
173	112	adantr 270	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
174		fzdcel 9059	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> DECID K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
175		exmiddc 777	. . . 4 |- (DECID K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) \/ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
176	174, 175	syl 14	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) \/ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
177	171, 172, 173, 176	syl3anc 1169	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) \/ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
178	138, 170, 177	mpjaodan 744	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661  DECID wdc 775   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   < clt 7153   - cmin 7279   / cdiv 7760   NNcn 8039   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   RR+crp 8734   ...cfz 9029   _C cbc 9674

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-iseq 9432  df-fac 9653  df-bc 9675

This theorem is referenced by:  bccl  9694  bcn2m1  9696  bcn2p1  9697  ex-bc  10566