Theorem bdop 10666

Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdop	|- BOUNDED <. x , y >.

Proof of Theorem bdop

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdvsn 10665	. . . 4 |- BOUNDED z = { x }
2		bdcpr 10662	. . . . . . 7 |- BOUNDED { x , y }
3	2	bdss 10655	. . . . . 6 |- BOUNDED z C_ { x , y }
4		ax-bdel 10612	. . . . . . . 8 |- BOUNDED x e. z
5		ax-bdel 10612	. . . . . . . 8 |- BOUNDED y e. z
6	4, 5	ax-bdan 10606	. . . . . . 7 |- BOUNDED ( x e. z /\ y e. z )
7		vex 2604	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
8	7	prid1 3498	. . . . . . . . . 10 |- x e. { x , y }
9		ssel 2993	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. { x , y } -> x e. z ) )
10	8, 9	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> x e. z )
11		vex 2604	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
12	11	prid2 3499	. . . . . . . . . 10 |- y e. { x , y }
13		ssel 2993	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ z -> ( y e. { x , y } -> y e. z ) )
14	12, 13	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } C_ z -> y e. z )
15	10, 14	jca 300	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } C_ z -> ( x e. z /\ y e. z ) )
16		prssi 3543	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z /\ y e. z ) -> { x , y } C_ z )
17	15, 16	impbii 124	. . . . . . 7 |- ( { x , y } C_ z <-> ( x e. z /\ y e. z ) )
18	6, 17	bd0r 10616	. . . . . 6 |- BOUNDED { x , y } C_ z
19	3, 18	ax-bdan 10606	. . . . 5 |- BOUNDED ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z )
20		eqss 3014	. . . . 5 |- ( z = { x , y } <-> ( z C_ { x , y } /\ { x , y } C_ z ) )
21	19, 20	bd0r 10616	. . . 4 |- BOUNDED z = { x , y }
22	1, 21	ax-bdor 10607	. . 3 |- BOUNDED ( z = { x } \/ z = { x , y } )
23		vex 2604	. . . 4 |- z e. _V
24	23, 7, 11	elop 3986	. . 3 |- ( z e. <. x , y >. <-> ( z = { x } \/ z = { x , y } ) )
25	22, 24	bd0r 10616	. 2 |- BOUNDED z e. <. x , y >.
26	25	bdelir 10638	1 |- BOUNDED <. x , y >.

Syntax hints:   /\ wa 102   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   C_ wss 2973   {csn 3398   {cpr 3399   <.cop 3401  BOUNDED wbdc 10631

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-bd0 10604  ax-bdan 10606  ax-bdor 10607  ax-bdal 10609  ax-bdeq 10611  ax-bdel 10612  ax-bdsb 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-bdc 10632

This theorem is referenced by: (None)