Theorem brtpos0 5890

Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos0	|- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Proof of Theorem brtpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos2 5889	. 2 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) ) )
2		ssun2 3136	. . . . 5 |- { (/) } C_ ( `' dom F u. { (/) } )
3		0ex 3905	. . . . . 6 |- (/) e. _V
4	3	snid 3425	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
5	2, 4	sselii 2996	. . . 4 |- (/) e. ( `' dom F u. { (/) } )
6	5	biantrur 297	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) )
7		cnvsn0 4809	. . . . . 6 |- `' { (/) } = (/)
8	7	unieqi 3611	. . . . 5 |- U. `' { (/) } = U. (/)
9		uni0 3628	. . . . 5 |- U. (/) = (/)
10	8, 9	eqtri 2101	. . . 4 |- U. `' { (/) } = (/)
11	10	breq1i 3792	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> (/) F A )
12	6, 11	bitr3i 184	. 2 |- ( ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) <-> (/) F A )
13	1, 12	syl6bb 194	1 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1433   u. cun 2971   (/)c0 3251   {csn 3398   U.cuni 3601   class class class wbr 3785   `'ccnv 4362   dom cdm 4363  tpos ctpos 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-fv 4930  df-tpos 5883

This theorem is referenced by:  reldmtpos  5891  tpostpos  5902