Theorem climle 10172

Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climadd.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climadd.4	|- ( ph -> F ~~> A )
climle.5	|- ( ph -> G ~~> B )
climle.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
climle.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
climle.8	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
climle	|- ( ph -> A <_ B )

Distinct variable groups:   B, k   k, F   ph, k   A, k   k, G   k, M   k, Z

Proof of Theorem climle

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climadd.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climle.5	. . . 4 |- ( ph -> G ~~> B )
4		zex 8360	. . . . . . . 8 |- ZZ e. _V
5		uzssz 8638	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
6	4, 5	ssexi 3916	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
7	1, 6	eqeltri 2151	. . . . . 6 |- Z e. _V
8	7	mptex 5408	. . . . 5 |- ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) e. _V
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) e. _V )
10		climadd.4	. . . 4 |- ( ph -> F ~~> A )
11		climle.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
12	11	recnd 7147	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
13		climle.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
14	13	recnd 7147	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
15		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
16	11, 13	resubcld 7485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) e. RR )
17		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( G ` j ) = ( G ` k ) )
18		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( F ` j ) = ( F ` k ) )
19	17, 18	oveq12d 5550	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) = ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
20		eqid 2081	. . . . . 6 |- ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) = ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) )
21	19, 20	fvmptg 5269	. . . . 5 |- ( ( k e. Z /\ ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) = ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
22	15, 16, 21	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) = ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
23	1, 2, 3, 9, 10, 12, 14, 22	climsub 10166	. . 3 |- ( ph -> ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ~~> ( B - A ) )
24	22, 16	eqeltrd 2155	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) e. RR )
25		climle.8	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )
26	11, 13	subge0d 7635	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( 0 <_ ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) <-> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) ) )
27	25, 26	mpbird 165	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
28	27, 22	breqtrrd 3811	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) )
29	1, 2, 23, 24, 28	climge0 10163	. 2 |- ( ph -> 0 <_ ( B - A ) )
30	1, 2, 3, 11	climrecl 10162	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
31	1, 2, 10, 13	climrecl 10162	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
32	30, 31	subge0d 7635	. 2 |- ( ph -> ( 0 <_ ( B - A ) <-> A <_ B ) )
33	29, 32	mpbid 145	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   class class class wbr 3785   |-> cmpt 3839   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   RRcr 6980   0cc0 6981   <_ cle 7154   - cmin 7279   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   ~~> cli 10117

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-clim 10118

This theorem is referenced by:  climlec2  10179  iserile  10180