Theorem resubcld 7485

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resubcld.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
resubcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resubcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		resubcl 7372	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 403	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1433  (class class class)co 5532   RRcr 6980   - cmin 7279

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-neg 7282

This theorem is referenced by:  ltsubadd  7536  lesubadd  7538  ltaddsub  7540  leaddsub  7542  lesub1  7560  lesub2  7561  ltsub1  7562  ltsub2  7563  lt2sub  7564  le2sub  7565  rereim  7686  ltmul1a  7691  cru  7702  lemul1a  7936  ztri3or  8394  lincmb01cmp  9025  iccf1o  9026  rebtwn2z  9263  qbtwnrelemcalc  9264  qbtwnre  9265  intfracq  9322  modqval  9326  modqlt  9335  modqsubdir  9395  serile  9474  expnbnd  9596  crre  9744  remullem  9758  recvguniqlem  9880  resqrexlemover  9896  resqrexlemcalc2  9901  resqrexlemcalc3  9902  resqrexlemnmsq  9903  resqrexlemnm  9904  resqrexlemcvg  9905  resqrexlemglsq  9908  resqrexlemga  9909  fzomaxdiflem  9998  caubnd2  10003  amgm2  10004  icodiamlt  10066  qdenre  10088  maxabslemab  10092  maxabslemlub  10093  maxltsup  10104  mulcn2  10151  climle  10172  climsqz  10173  climsqz2  10174  climcvg1nlem  10186