Theorem co02 4854

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 4839	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4480	. 2 |- Rel (/)
3		noel 3255	. . . . . . 7 |- -. <. x , z >. e. (/)
4		df-br 3786	. . . . . . 7 |- ( x (/) z <-> <. x , z >. e. (/) )
5	3, 4	mtbir 628	. . . . . 6 |- -. x (/) z
6	5	intnanr 872	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
7	6	nex 1429	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
8		vex 2604	. . . . 5 |- x e. _V
9		vex 2604	. . . . 5 |- y e. _V
10	8, 9	opelco 4525	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
11	7, 10	mtbir 628	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
12		noel 3255	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
13	11, 12	2false 649	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4452	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   (/)c0 3251   <.cop 3401   class class class wbr 3785   o. ccom 4367

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370  df-co 4372

This theorem is referenced by:  co01  4855