Theorem opelco 4525

Description: Ordered pair membership in a composition. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelco.1	|- A e. _V
opelco.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opelco	|- ( <. A , B >. e. ( C o. D ) <-> E. x ( A D x /\ x C B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, D

Proof of Theorem opelco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 3786	. 2 |- ( A ( C o. D ) B <-> <. A , B >. e. ( C o. D ) )
2		opelco.1	. . 3 |- A e. _V
3		opelco.2	. . 3 |- B e. _V
4	2, 3	brco 4524	. 2 |- ( A ( C o. D ) B <-> E. x ( A D x /\ x C B ) )
5	1, 4	bitr3i 184	1 |- ( <. A , B >. e. ( C o. D ) <-> E. x ( A D x /\ x C B ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   E.wex 1421   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   <.cop 3401   class class class wbr 3785   o. ccom 4367

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-co 4372

This theorem is referenced by:  dmcoss  4619  dmcosseq  4621  cotr  4726  coiun  4850  co02  4854  coi1  4856  coass  4859  fmptco  5351  dftpos4  5901