Theorem dff3im 5333

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff3im	|- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dff3im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 5078	. 2 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
2		ffun 5068	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> Fun F )
3	2	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> Fun F )
4		fdm 5070	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
5	4	eleq2d 2148	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
6	5	biimpar 291	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x e. dom F )
7		funfvop 5300	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
8	3, 6, 7	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
9		df-br 3786	. . . . . 6 |- ( x F ( F ` x ) <-> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
10	8, 9	sylibr 132	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> x F ( F ` x ) )
11		funfvex 5212	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
12		breq2 3789	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( x F y <-> x F ( F ` x ) ) )
13	12	spcegv 2686	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y ) )
14	11, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y ) )
15	3, 6, 14	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( x F ( F ` x ) -> E. y x F y ) )
16	10, 15	mpd 13	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E. y x F y )
17		funmo 4937	. . . . . 6 |- ( Fun F -> E* y x F y )
18	2, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> E* y x F y )
19	18	adantr 270	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E* y x F y )
20		eu5 1988	. . . 4 |- ( E! y x F y <-> ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
21	16, 19, 20	sylanbrc 408	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> E! y x F y )
22	21	ralrimiva 2434	. 2 |- ( F : A --> B -> A. x e. A E! y x F y )
23	1, 22	jca 300	1 |- ( F : A --> B -> ( F C_ ( A X. B ) /\ A. x e. A E! y x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   E.wex 1421   e. wcel 1433   E!weu 1941   E*wmo 1942   A.wral 2348   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   <.cop 3401   class class class wbr 3785   X. cxp 4361   dom cdm 4363   Fun wfun 4916   -->wf 4918   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  dff4im  5334