Theorem funmo 4937

Description: A function has at most one value for each argument. (Contributed by NM, 24-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funmo	|- ( Fun F -> E* y A F y )

Distinct variable groups:   y, A   y, F

Proof of Theorem funmo

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun6 4936	. . . . . 6 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x E* y x F y ) )
2	1	simplbi 268	. . . . 5 |- ( Fun F -> Rel F )
3		brrelex 4400	. . . . . 6 |- ( ( Rel F /\ A F y ) -> A e. _V )
4	3	ex 113	. . . . 5 |- ( Rel F -> ( A F y -> A e. _V ) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( Fun F -> ( A F y -> A e. _V ) )
6	5	ancrd 319	. . 3 |- ( Fun F -> ( A F y -> ( A e. _V /\ A F y ) ) )
7	6	alrimiv 1795	. 2 |- ( Fun F -> A. y ( A F y -> ( A e. _V /\ A F y ) ) )
8		breq1 3788	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( x F y <-> A F y ) )
9	8	mobidv 1977	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( E* y x F y <-> E* y A F y ) )
10	9	imbi2d 228	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( Fun F -> E* y x F y ) <-> ( Fun F -> E* y A F y ) ) )
11	1	simprbi 269	. . . . . 6 |- ( Fun F -> A. x E* y x F y )
12	11	19.21bi 1490	. . . . 5 |- ( Fun F -> E* y x F y )
13	10, 12	vtoclg 2658	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( Fun F -> E* y A F y ) )
14	13	com12 30	. . 3 |- ( Fun F -> ( A e. _V -> E* y A F y ) )
15		moanimv 2016	. . 3 |- ( E* y ( A e. _V /\ A F y ) <-> ( A e. _V -> E* y A F y ) )
16	14, 15	sylibr 132	. 2 |- ( Fun F -> E* y ( A e. _V /\ A F y ) )
17		moim 2005	. 2 |- ( A. y ( A F y -> ( A e. _V /\ A F y ) ) -> ( E* y ( A e. _V /\ A F y ) -> E* y A F y ) )
18	7, 16, 17	sylc 61	1 |- ( Fun F -> E* y A F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   E*wmo 1942   _Vcvv 2601   class class class wbr 3785   Rel wrel 4368   Fun wfun 4916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-fun 4924

This theorem is referenced by:  funeu  4946  funco  4960  imadif  4999  fneu  5023  dff3im  5333  shftfn  9712