Theorem dffun4 4933

Description: Alternate definition of a function. Definition 6.4(4) of [TakeutiZaring] p. 24. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dffun4	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem dffun4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun2 4932	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )
2		df-br 3786	. . . . . . 7 |- ( x A y <-> <. x , y >. e. A )
3		df-br 3786	. . . . . . 7 |- ( x A z <-> <. x , z >. e. A )
4	2, 3	anbi12i 447	. . . . . 6 |- ( ( x A y /\ x A z ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) )
5	4	imbi1i 236	. . . . 5 |- ( ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
6	5	albii 1399	. . . 4 |- ( A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
7	6	2albii 1400	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
8	7	anbi2i 444	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )
9	1, 8	bitri 182	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   e. wcel 1433   <.cop 3401   class class class wbr 3785   Rel wrel 4368   Fun wfun 4916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-cnv 4371  df-co 4372  df-fun 4924

This theorem is referenced by:  dffun5r  4934  funopg  4954  funun  4964  fununi  4987  tfrlem7  5956