Theorem dffun4 4933

Description: Alternate definition of a function. Definition 6.4(4) of [TakeutiZaring] p. 24. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dffun4	⊢ (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem dffun4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun2 4932	. 2 ⊢ (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
2		df-br 3786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥𝐴𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
3		df-br 3786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥𝐴𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)
4	2, 3	anbi12i 447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴))
5	4	imbi1i 236	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
6	5	albii 1399	. . . 4 ⊢ (∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
7	6	2albii 1400	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
8	7	anbi2i 444	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧)) ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧)))
9	1, 8	bitri 182	1 ⊢ (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103  ∀wal 1282   ∈ wcel 1433  ⟨cop 3401   class class class wbr 3785  Rel wrel 4368  Fun wfun 4916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-cnv 4371  df-co 4372  df-fun 4924

This theorem is referenced by:  dffun5r  4934  funopg  4954  funun  4964  fununi  4987  tfrlem7  5956