Theorem dffun4f 4938

Description: Definition of function like dffun4 4933 but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dffun4f.1	|- F/_ x A
dffun4f.2	|- F/_ y A
dffun4f.3	|- F/_ z A

Assertion

Ref	Expression
dffun4f	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)

Proof of Theorem dffun4f

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun4f.1	. . 3 |- F/_ x A
2		dffun4f.2	. . 3 |- F/_ y A
3	1, 2	dffun6f 4935	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x E* y x A y ) )
4		nfcv 2219	. . . . . . 7 |- F/_ y x
5		nfcv 2219	. . . . . . 7 |- F/_ y w
6	4, 2, 5	nfbr 3829	. . . . . 6 |- F/ y x A w
7		breq2 3789	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( x A y <-> x A w ) )
8	6, 7	mo4f 2001	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> A. y A. w ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) )
9		nfv 1461	. . . . . . 7 |- F/ w ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z )
10		nfcv 2219	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z x
11		dffun4f.3	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z A
12		nfcv 2219	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z y
13	10, 11, 12	nfbr 3829	. . . . . . . . 9 |- F/ z x A y
14		nfcv 2219	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z w
15	10, 11, 14	nfbr 3829	. . . . . . . . 9 |- F/ z x A w
16	13, 15	nfan 1497	. . . . . . . 8 |- F/ z ( x A y /\ x A w )
17		nfv 1461	. . . . . . . 8 |- F/ z y = w
18	16, 17	nfim 1504	. . . . . . 7 |- F/ z ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w )
19		breq2 3789	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( x A z <-> x A w ) )
20	19	anbi2d 451	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( ( x A y /\ x A z ) <-> ( x A y /\ x A w ) ) )
21		equequ2 1639	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( y = z <-> y = w ) )
22	20, 21	imbi12d 232	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) ) )
23	9, 18, 22	cbval 1677	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. w ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) )
24	23	albii 1399	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. y A. w ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) )
25	8, 24	bitr4i 185	. . . 4 |- ( E* y x A y <-> A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
26	25	albii 1399	. . 3 |- ( A. x E* y x A y <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
27	26	anbi2i 444	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x E* y x A y ) <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )
28		df-br 3786	. . . . . . 7 |- ( x A y <-> <. x , y >. e. A )
29		df-br 3786	. . . . . . 7 |- ( x A z <-> <. x , z >. e. A )
30	28, 29	anbi12i 447	. . . . . 6 |- ( ( x A y /\ x A z ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) )
31	30	imbi1i 236	. . . . 5 |- ( ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
32	31	2albii 1400	. . . 4 |- ( A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
33	32	albii 1399	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
34	33	anbi2i 444	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )
35	3, 27, 34	3bitri 204	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   e. wcel 1433   E*wmo 1942   F/_wnfc 2206   <.cop 3401   class class class wbr 3785   Rel wrel 4368   Fun wfun 4916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-cnv 4371  df-co 4372  df-fun 4924

This theorem is referenced by: (None)