Theorem dftpos3 5900

Description: Alternate definition of tpos when F has relational domain. Compare df-cnv 4371. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftpos3	|- ( Rel dom F -> tpos F = { <. <. x , y >. , z >. | <. y , x >. F z } )

Distinct variable group:   x, y, z, F

Proof of Theorem dftpos3

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4723	. . . . . . . . . 10 |- Rel `' dom F
2		dmtpos 5894	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )
3	2	releqd 4442	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F <-> Rel `' dom F ) )
4	1, 3	mpbiri 166	. . . . . . . . 9 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F )
5		reltpos 5888	. . . . . . . . 9 |- Rel tpos F
6	4, 5	jctil 305	. . . . . . . 8 |- ( Rel dom F -> ( Rel tpos F /\ Rel dom tpos F ) )
7		relrelss 4864	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel tpos F /\ Rel dom tpos F ) <-> tpos F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
8	6, 7	sylib 120	. . . . . . 7 |- ( Rel dom F -> tpos F C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
9	8	sseld 2998	. . . . . 6 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) )
10		elvvv 4421	. . . . . 6 |- ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. )
11	9, 10	syl6ib 159	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F -> E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. ) )
12	11	pm4.71rd 386	. . . 4 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F <-> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) ) )
13		19.41vvv 1825	. . . . 5 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) )
14		eleq1 2141	. . . . . . . 8 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. tpos F <-> <. <. x , y >. , z >. e. tpos F ) )
15		df-br 3786	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >.tpos F z <-> <. <. x , y >. , z >. e. tpos F )
16		vex 2604	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
17		vex 2604	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
18		vex 2604	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
19		brtposg 5892	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
20	16, 17, 18, 19	mp3an 1268	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z )
21	15, 20	bitr3i 184	. . . . . . . 8 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. tpos F <-> <. y , x >. F z )
22	14, 21	syl6bb 194	. . . . . . 7 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. tpos F <-> <. y , x >. F z ) )
23	22	pm5.32i 441	. . . . . 6 |- ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) )
24	23	3exbii 1538	. . . . 5 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) )
25	13, 24	bitr3i 184	. . . 4 |- ( ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. /\ w e. tpos F ) <-> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) )
26	12, 25	syl6bb 194	. . 3 |- ( Rel dom F -> ( w e. tpos F <-> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) ) )
27	26	abbi2dv 2197	. 2 |- ( Rel dom F -> tpos F = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) } )
28		df-oprab 5536	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | <. y , x >. F z } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ <. y , x >. F z ) }
29	27, 28	syl6eqr 2131	1 |- ( Rel dom F -> tpos F = { <. <. x , y >. , z >. | <. y , x >. F z } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   {cab 2067   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   <.cop 3401   class class class wbr 3785   X. cxp 4361   `'ccnv 4362   dom cdm 4363   Rel wrel 4368   {coprab 5533  tpos ctpos 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-fv 4930  df-oprab 5536  df-tpos 5883

This theorem is referenced by:  tposoprab  5918