Theorem dftr2 3877

Description: An alternate way of defining a transitive class. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 24-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dftr2	|- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dftr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 2988	. 2 |- ( U. A C_ A <-> A. x ( x e. U. A -> x e. A ) )
2		df-tr 3876	. 2 |- ( Tr A <-> U. A C_ A )
3		19.23v 1804	. . . 4 |- ( A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
4		eluni 3604	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
5	4	imbi1i 236	. . . 4 |- ( ( x e. U. A -> x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
6	3, 5	bitr4i 185	. . 3 |- ( A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> ( x e. U. A -> x e. A ) )
7	6	albii 1399	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> A. x ( x e. U. A -> x e. A ) )
8	1, 2, 7	3bitr4i 210	1 |- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   E.wex 1421   e. wcel 1433   C_ wss 2973   U.cuni 3601   Tr wtr 3875

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-in 2979  df-ss 2986  df-uni 3602  df-tr 3876

This theorem is referenced by:  dftr5  3878  trel  3882  suctr  4176  ordtriexmidlem  4263  ordtri2or2exmidlem  4269  onsucelsucexmidlem  4272  ordsuc  4306  tfi  4323  ordom  4347