Theorem ordom 4347

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4346	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1379	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 3877	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 144	. 2 |- Tr om
5		treq 3881	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 3881	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 3881	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 3886	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4176	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4341	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2416	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4122	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 883	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1282   e. wcel 1433   A.wral 2348   (/)c0 3251   Tr wtr 3875   Ord word 4117   suc csuc 4120   omcom 4331

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-int 3637  df-tr 3876  df-iord 4121  df-suc 4126  df-iom 4332

This theorem is referenced by:  omelon2  4348  limom  4354