Theorem difopab 4487

Description: The difference of two ordered-pair abstractions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
difopab	|- ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y)

Proof of Theorem difopab

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 4482	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | ph }
2		reldif 4475	. . 3 |- ( Rel { <. x , y >. | ph } -> Rel ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) )
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- Rel ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } )
4		relopab 4482	. 2 |- Rel { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) }
5		sbcan 2856	. . . 4 |- ( [. z / x ]. ( [. w / y ]. ph /\ [. w / y ]. -. ps ) <-> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ph /\ [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps ) )
6		sbcan 2856	. . . . 5 |- ( [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) <-> ( [. w / y ]. ph /\ [. w / y ]. -. ps ) )
7	6	sbcbii 2873	. . . 4 |- ( [. z / x ]. [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) <-> [. z / x ]. ( [. w / y ]. ph /\ [. w / y ]. -. ps ) )
8		opelopabsb 4015	. . . . 5 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ph )
9		vex 2604	. . . . . . 7 |- z e. _V
10		sbcng 2854	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. -. [. w / y ]. ps <-> -. [. z / x ]. [. w / y ]. ps ) )
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( [. z / x ]. -. [. w / y ]. ps <-> -. [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
12		vex 2604	. . . . . . . 8 |- w e. _V
13		sbcng 2854	. . . . . . . 8 |- ( w e. _V -> ( [. w / y ]. -. ps <-> -. [. w / y ]. ps ) )
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( [. w / y ]. -. ps <-> -. [. w / y ]. ps )
15	14	sbcbii 2873	. . . . . 6 |- ( [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps <-> [. z / x ]. -. [. w / y ]. ps )
16		opelopabsb 4015	. . . . . . 7 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
17	16	notbii 626	. . . . . 6 |- ( -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } <-> -. [. z / x ]. [. w / y ]. ps )
18	11, 15, 17	3bitr4ri 211	. . . . 5 |- ( -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps )
19	8, 18	anbi12i 447	. . . 4 |- ( ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } /\ -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } ) <-> ( [. z / x ]. [. w / y ]. ph /\ [. z / x ]. [. w / y ]. -. ps ) )
20	5, 7, 19	3bitr4ri 211	. . 3 |- ( ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } /\ -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } ) <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) )
21		eldif 2982	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) <-> ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ph } /\ -. <. z , w >. e. { <. x , y >. | ps } ) )
22		opelopabsb 4015	. . 3 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) } <-> [. z / x ]. [. w / y ]. ( ph /\ -. ps ) )
23	20, 21, 22	3bitr4i 210	. 2 |- ( <. z , w >. e. ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) <-> <. z , w >. e. { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) } )
24	3, 4, 23	eqrelriiv 4452	1 |- ( { <. x , y >. | ph } \ { <. x , y >. | ps } ) = { <. x , y >. | ( ph /\ -. ps ) }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   [.wsbc 2815   \ cdif 2970   <.cop 3401   {copab 3838   Rel wrel 4368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370

This theorem is referenced by: (None)