Theorem dmsnm 4806

Description: The domain of a singleton is inhabited iff the singleton argument is an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnm	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem dmsnm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4420	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2604	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	eldm 4550	. . . 4 |- ( x e. dom { A } <-> E. y x { A } y )
4		df-br 3786	. . . . . 6 |- ( x { A } y <-> <. x , y >. e. { A } )
5		vex 2604	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	2, 5	opex 3984	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
7	6	elsn 3414	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { A } <-> <. x , y >. = A )
8		eqcom 2083	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A <-> A = <. x , y >. )
9	4, 7, 8	3bitri 204	. . . . 5 |- ( x { A } y <-> A = <. x , y >. )
10	9	exbii 1536	. . . 4 |- ( E. y x { A } y <-> E. y A = <. x , y >. )
11	3, 10	bitr2i 183	. . 3 |- ( E. y A = <. x , y >. <-> x e. dom { A } )
12	11	exbii 1536	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x x e. dom { A } )
13	1, 12	bitri 182	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Syntax hints:   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   {csn 3398   <.cop 3401   class class class wbr 3785   X. cxp 4361   dom cdm 4363

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-dm 4373

This theorem is referenced by:  rnsnm  4807  dmsn0  4808  dmsn0el  4810  relsn2m  4811