Theorem dvdsprime 10504

Description: If M divides a prime, then M is either the prime or one. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprime	|- ( ( P e. Prime /\ M e. NN ) -> ( M || P <-> ( M = P \/ M = 1 ) ) )

Proof of Theorem dvdsprime

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 10499	. . 3 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. m e. NN ( m || P -> ( m = 1 \/ m = P ) ) ) )
2		breq1 3788	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( m || P <-> M || P ) )
3		eqeq1 2087	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( m = 1 <-> M = 1 ) )
4		eqeq1 2087	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( m = P <-> M = P ) )
5	3, 4	orbi12d 739	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( ( m = 1 \/ m = P ) <-> ( M = 1 \/ M = P ) ) )
6		orcom 679	. . . . . . 7 |- ( ( M = 1 \/ M = P ) <-> ( M = P \/ M = 1 ) )
7	5, 6	syl6bb 194	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( m = 1 \/ m = P ) <-> ( M = P \/ M = 1 ) ) )
8	2, 7	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( m || P -> ( m = 1 \/ m = P ) ) <-> ( M || P -> ( M = P \/ M = 1 ) ) ) )
9	8	rspccva 2700	. . . 4 |- ( ( A. m e. NN ( m || P -> ( m = 1 \/ m = P ) ) /\ M e. NN ) -> ( M || P -> ( M = P \/ M = 1 ) ) )
10	9	adantll 459	. . 3 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. m e. NN ( m || P -> ( m = 1 \/ m = P ) ) ) /\ M e. NN ) -> ( M || P -> ( M = P \/ M = 1 ) ) )
11	1, 10	sylanb 278	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ M e. NN ) -> ( M || P -> ( M = P \/ M = 1 ) ) )
12		prmz 10493	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
13		iddvds 10208	. . . . . 6 |- ( P e. ZZ -> P || P )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P || P )
15	14	adantr 270	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ M e. NN ) -> P || P )
16		breq1 3788	. . . 4 |- ( M = P -> ( M || P <-> P || P ) )
17	15, 16	syl5ibrcom 155	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ M e. NN ) -> ( M = P -> M || P ) )
18		1dvds 10209	. . . . . 6 |- ( P e. ZZ -> 1 || P )
19	12, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> 1 || P )
20	19	adantr 270	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ M e. NN ) -> 1 || P )
21		breq1 3788	. . . 4 |- ( M = 1 -> ( M || P <-> 1 || P ) )
22	20, 21	syl5ibrcom 155	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ M e. NN ) -> ( M = 1 -> M || P ) )
23	17, 22	jaod 669	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ M e. NN ) -> ( ( M = P \/ M = 1 ) -> M || P ) )
24	11, 23	impbid 127	1 |- ( ( P e. Prime /\ M e. NN ) -> ( M || P <-> ( M = P \/ M = 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   class class class wbr 3785   ` cfv 4922   1c1 6982   NNcn 8039   2c2 8089   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   || cdvds 10195   Primecprime 10489

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-1o 6024  df-2o 6025  df-er 6129  df-en 6245  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196  df-prm 10490

This theorem is referenced by:  prm2orodd  10508