Theorem nprm 10505

Description: A product of two integers greater than one is composite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nprm	|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( A x. B ) e. Prime )

Proof of Theorem nprm

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 8628	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
2	1	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. ZZ )
3	2	zred 8469	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. RR )
4		eluz2b2 8690	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( B e. NN /\ 1 < B ) )
5	4	simprbi 269	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < B )
6	5	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < B )
7		eluzelz 8628	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. ZZ )
8	7	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. ZZ )
9	8	zred 8469	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. RR )
10		eluz2nn 8657	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )
11	10	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. NN )
12	11	nngt0d 8082	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < A )
13		ltmulgt11 7942	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 < B <-> A < ( A x. B ) ) )
14	3, 9, 12, 13	syl3anc 1169	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 < B <-> A < ( A x. B ) ) )
15	6, 14	mpbid 145	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A < ( A x. B ) )
16	3, 15	ltned 7224	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A =/= ( A x. B ) )
17		dvdsmul1 10217	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A || ( A x. B ) )
18	1, 7, 17	syl2an 283	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A || ( A x. B ) )
19		isprm4 10501	. . . . . . 7 |- ( ( A x. B ) e. Prime <-> ( ( A x. B ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ( ZZ>= ` 2 ) ( x || ( A x. B ) -> x = ( A x. B ) ) ) )
20	19	simprbi 269	. . . . . 6 |- ( ( A x. B ) e. Prime -> A. x e. ( ZZ>= ` 2 ) ( x || ( A x. B ) -> x = ( A x. B ) ) )
21		breq1 3788	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x || ( A x. B ) <-> A || ( A x. B ) ) )
22		eqeq1 2087	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x = ( A x. B ) <-> A = ( A x. B ) ) )
23	21, 22	imbi12d 232	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x || ( A x. B ) -> x = ( A x. B ) ) <-> ( A || ( A x. B ) -> A = ( A x. B ) ) ) )
24	23	rspcv 2697	. . . . . 6 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` 2 ) ( x || ( A x. B ) -> x = ( A x. B ) ) -> ( A || ( A x. B ) -> A = ( A x. B ) ) ) )
25	20, 24	syl5 32	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A x. B ) e. Prime -> ( A || ( A x. B ) -> A = ( A x. B ) ) ) )
26	25	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A x. B ) e. Prime -> ( A || ( A x. B ) -> A = ( A x. B ) ) ) )
27	18, 26	mpid 41	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A x. B ) e. Prime -> A = ( A x. B ) ) )
28	27	necon3ad 2287	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A =/= ( A x. B ) -> -. ( A x. B ) e. Prime ) )
29	16, 28	mpd 13	1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( A x. B ) e. Prime )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   =/= wne 2245   A.wral 2348   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   x. cmul 6986   < clt 7153   NNcn 8039   2c2 8089   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   || cdvds 10195   Primecprime 10489

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-1o 6024  df-2o 6025  df-er 6129  df-en 6245  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196  df-prm 10490

This theorem is referenced by:  nprmi  10506  dvdsnprmd  10507  sqnprm  10517