Theorem ecopqsi 6184

Description: "Closure" law for equivalence class of ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecopqsi.1	|- R e. _V
ecopqsi.2	|- S = ( ( A X. A ) /. R )

Assertion

Ref	Expression
ecopqsi	|- ( ( B e. A /\ C e. A ) -> [ <. B , C >. ] R e. S )

Proof of Theorem ecopqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4394	. 2 |- ( ( B e. A /\ C e. A ) -> <. B , C >. e. ( A X. A ) )
2		ecopqsi.1	. . . 4 |- R e. _V
3	2	ecelqsi 6183	. . 3 |- ( <. B , C >. e. ( A X. A ) -> [ <. B , C >. ] R e. ( ( A X. A ) /. R ) )
4		ecopqsi.2	. . 3 |- S = ( ( A X. A ) /. R )
5	3, 4	syl6eleqr 2172	. 2 |- ( <. B , C >. e. ( A X. A ) -> [ <. B , C >. ] R e. S )
6	1, 5	syl 14	1 |- ( ( B e. A /\ C e. A ) -> [ <. B , C >. ] R e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   <.cop 3401   X. cxp 4361   [cec 6127   /.cqs 6128

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-ec 6131  df-qs 6135

This theorem is referenced by:  brecop  6219  recexgt0sr  6950