Theorem ecelqsi 6183

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	|- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 |- R e. _V
2		ecelqsg 6182	. 2 |- ( ( R e. _V /\ B e. A ) -> [ B ] R e. ( A /. R ) )
3	1, 2	mpan 414	1 |- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   [cec 6127   /.cqs 6128

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-ec 6131  df-qs 6135

This theorem is referenced by:  ecopqsi  6184  th3q  6234  1nq  6556  addclnq  6565  mulclnq  6566  recexnq  6580  ltexnqq  6598  prarloclemarch  6608  prarloclemarch2  6609  nnnq  6612  nqnq0  6631  addnnnq0  6639  mulnnnq0  6640  addclnq0  6641  mulclnq0  6642  nqpnq0nq  6643  prarloclemlt  6683  prarloclemlo  6684  prarloclemcalc  6692  nqprm  6732  addsrpr  6922  mulsrpr  6923  0r  6927  1sr  6928  m1r  6929  addclsr  6930  mulclsr  6931  prsrcl  6960  pitonnlem2  7015  pitonn  7016  pitore  7018  recnnre  7019