Theorem elfzuzb 9039

Description: Membership in a finite set of sequential integers in terms of sets of upper integers. (Contributed by NM, 18-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuzb	|- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )

Proof of Theorem elfzuzb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 921	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2		an6 1252	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
3		df-3an 921	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) )
4		anandir 555	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) )
5		ancom 262	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6	5	anbi2i 444	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) )
7	3, 4, 6	3bitri 204	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) )
8	7	anbi1i 445	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9	1, 2, 8	3bitr4ri 211	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
10		elfz2 9036	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
11		eluz2 8625	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) )
12		eluz2 8625	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) )
13	11, 12	anbi12i 447	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
14	9, 10, 13	3bitr4i 210	1 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   <_ cle 7154   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   ...cfz 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-neg 7282  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030

This theorem is referenced by:  eluzfz  9040  elfzuz  9041  elfzuz3  9042  elfzuz2  9048  peano2fzr  9056  fzsplit2  9069  fzass4  9080  fzss1  9081  fzss2  9082  fzp1elp1  9092  fznn  9106  elfz2nn0  9128  elfzofz  9171  fzosplitsnm1  9218  fzofzp1b  9237  fzosplitsn  9242  iseqfveq2  9448  monoord  9455  bcn1  9685