Theorem monoord 9455

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, increasing case. (Contributed by NM, 13-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoord.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
monoord.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
monoord.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
monoord	|- ( ph -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem monoord

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoord.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 9051	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( x e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
5		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
6	5	breq2d 3797	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) )
7	4, 6	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) ) )
8	7	imbi2d 228	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) ) ) )
9		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) )
10		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( F ` x ) = ( F ` n ) )
11	10	breq2d 3797	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) )
12	9, 11	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) )
13	12	imbi2d 228	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) ) )
14		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
15		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
16	15	breq2d 3797	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
17	14, 16	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
18	17	imbi2d 228	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
19		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
20		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( F ` x ) = ( F ` N ) )
21	20	breq2d 3797	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) )
22	19, 21	imbi12d 232	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) ) )
23	22	imbi2d 228	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) ) ) )
24		eluzfz1 9050	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
25	1, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
26		monoord.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
27	26	ralrimiva 2434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
28		fveq2 5198	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
29	28	eleq1d 2147	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` M ) e. RR ) )
30	29	rspcv 2697	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` M ) e. RR ) )
31	25, 27, 30	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR )
32	31	leidd 7615	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) )
33	32	a1d 22	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) )
34	33	a1i 9	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) ) )
35		simprl 497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
36		simprr 498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
37		peano2fzr 9056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
39	38	expr 367	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) )
40	39	imim1d 74	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) )
41		eluzelz 8628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
42	35, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ZZ )
43		elfzuz3 9042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
44	36, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
45		eluzp1m1 8642	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` n ) )
46	42, 44, 45	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` n ) )
47		elfzuzb 9039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` n ) ) )
48	35, 46, 47	sylanbrc 408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
49		monoord.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
50	49	ralrimiva 2434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
51	50	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
52		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
53		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( k + 1 ) = ( n + 1 ) )
54	53	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
55	52, 54	breq12d 3798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) <-> ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
56	55	rspcv 2697	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> ( A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
57	48, 51, 56	sylc 61	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
58	31	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` M ) e. RR )
59	27	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
60	52	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` n ) e. RR ) )
61	60	rspcv 2697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` n ) e. RR ) )
62	38, 59, 61	sylc 61	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
63		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
64	63	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) )
65	64	rspcv 2697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) )
66	36, 59, 65	sylc 61	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
67		letr 7194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` M ) e. RR /\ ( F ` n ) e. RR /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( F ` M ) <_ ( F ` n ) /\ ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
68	58, 62, 66, 67	syl3anc 1169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( ( F ` M ) <_ ( F ` n ) /\ ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
69	57, 68	mpan2d 418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` n ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
70	69	expr 367	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` n ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
71	70	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
72	40, 71	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
73	72	expcom 114	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
74	73	a2d 26	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
75	8, 13, 18, 23, 34, 74	uzind4 8676	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) ) )
76	1, 75	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) )
77	3, 76	mpd 13	1 |- ( ph -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   RRcr 6980   1c1 6982   + caddc 6984   <_ cle 7154   - cmin 7279   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   ...cfz 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030

This theorem is referenced by:  monoord2  9456  isermono  9457  climub  10182