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Theorem fzsplit2 9069
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit2 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
Proof of Theorem fzsplit2
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 9045 . . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
2 eluzel2 8624 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ZZ )
32adantl 271 . . . . . 6 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. ZZ )
4 zlelttric 8396 . . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( x <_ K \/ K < x ) )
51, 3, 4syl2anr 284 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x <_ K \/ K < x ) )
6 elfzuz 9041 . . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
7 elfz5 9037 . . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... K ) <-> x <_ K ) )
86, 3, 7syl2anr 284 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... K ) <-> x <_ K ) )
9 simpl 107 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
10 eluzelz 8628 . . . . . . . . 9 |- ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
12 eluz 8632 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K + 1 ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
1311, 1, 12syl2an 283 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
14 elfzuz3 9042 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
1514adantl 271 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
16 elfzuzb 9039 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
1716rbaib 863 . . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` x ) -> ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
1815, 17syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
19 zltp1le 8405 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( K < x <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
203, 1, 19syl2an 283 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( K < x <-> ( K + 1 ) <_ x ) )
2113, 18, 203bitr4d 218 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) <-> K < x ) )
228, 21orbi12d 739 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) <-> ( x <_ K \/ K < x ) ) )
235, 22mpbird 165 . . . 4 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
24 elfzuz 9041 . . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... K ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
2524adantl 271 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
26 simpr 108 . . . . . . 7 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
27 elfzuz3 9042 . . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... K ) -> K e. ( ZZ>= ` x ) )
28 uztrn 8635 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` x ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
2926, 27, 28syl2an 283 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
30 elfzuzb 9039 . . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
3125, 29, 30sylanbrc 408 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( M ... K ) ) -> x e. ( M ... N ) )
32 elfzuz 9041 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
33 uztrn 8635 . . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) /\ ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
3432, 9, 33syl2anr 284 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
35 elfzuz3 9042 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ( K + 1 ) ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
3635adantl 271 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
3734, 36, 30sylanbrc 408 . . . . 5 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
3831, 37jaodan 743 . . . 4 |- ( ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) /\ ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
3923, 38impbida 560 . . 3 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) ) )
40 elun 3113 . . 3 |- ( x e. ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) <-> ( x e. ( M ... K ) \/ x e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
4139, 40syl6bbr 196 . 2 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x e. ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) ) )
4241eqrdv 2079 1 |- ( ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   u. cun 2971   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   <_ cle 7154   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   ...cfz 9029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030
This theorem is referenced by:  fzsplit  9070  fzpred  9087
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