Theorem elrealeu 6998

Description: The real number mapping in elreal 6997 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elrealeu	|- ( A e. RR <-> E! x e. R. <. x , 0R >. = A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem elrealeu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 6997	. . . 4 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2	1	biimpi 118	. . 3 |- ( A e. RR -> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
3		eqtr3 2100	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. )
4		0r 6927	. . . . . . . . . 10 |- 0R e. R.
5		opthg 3993	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. R. /\ 0R e. R. ) -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
6	4, 5	mpan2 415	. . . . . . . . 9 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
7	6	ad2antlr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ x e. R. ) /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
8	3, 7	syl5ib 152	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ x e. R. ) /\ y e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
9		simpl 107	. . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ 0R = 0R ) -> x = y )
10	8, 9	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ x e. R. ) /\ y e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
11	10	ralrimiva 2434	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. R. ) -> A. y e. R. ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
12	11	ralrimiva 2434	. . . 4 |- ( A e. RR -> A. x e. R. A. y e. R. ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
13		opeq1 3570	. . . . . 6 |- ( x = y -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. )
14	13	eqeq1d 2089	. . . . 5 |- ( x = y -> ( <. x , 0R >. = A <-> <. y , 0R >. = A ) )
15	14	rmo4 2785	. . . 4 |- ( E* x e. R. <. x , 0R >. = A <-> A. x e. R. A. y e. R. ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
16	12, 15	sylibr 132	. . 3 |- ( A e. RR -> E* x e. R. <. x , 0R >. = A )
17		reu5 2566	. . 3 |- ( E! x e. R. <. x , 0R >. = A <-> ( E. x e. R. <. x , 0R >. = A /\ E* x e. R. <. x , 0R >. = A ) )
18	2, 16, 17	sylanbrc 408	. 2 |- ( A e. RR -> E! x e. R. <. x , 0R >. = A )
19		reurex 2567	. . 3 |- ( E! x e. R. <. x , 0R >. = A -> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
20	19, 1	sylibr 132	. 2 |- ( E! x e. R. <. x , 0R >. = A -> A e. RR )
21	18, 20	impbii 124	1 |- ( A e. RR <-> E! x e. R. <. x , 0R >. = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   E!wreu 2350   E*wrmo 2351   <.cop 3401   R.cnr 6487   0Rc0r 6488   RRcr 6980

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543  df-inp 6656  df-i1p 6657  df-enr 6903  df-nr 6904  df-0r 6908  df-r 6991

This theorem is referenced by:  axcaucvglemcl  7061  axcaucvglemval  7063