Theorem elz2 8419

Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elz2	|- ( N e. ZZ <-> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )

Distinct variable group:   x, y, N

Proof of Theorem elz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 8366	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) )
2		nn0p1nn 8327	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
3	2	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN )
4		1nn 8050	. . . . . 6 |- 1 e. NN
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> 1 e. NN )
6		recn 7106	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> N e. CC )
7	6	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> N e. CC )
8		ax-1cn 7069	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
9		pncan 7314	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
10	7, 8, 9	sylancl 404	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
11	10	eqcomd 2086	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
12		rspceov 5567	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ 1 e. NN /\ N = ( ( N + 1 ) - 1 ) ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
13	3, 5, 11, 12	syl3anc 1169	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
14	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> 1 e. NN )
15	6	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> N e. CC )
16		negsub 7356	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 1 + -u N ) = ( 1 - N ) )
17	8, 15, 16	sylancr 405	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 + -u N ) = ( 1 - N ) )
18		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> -u N e. NN0 )
19		nnnn0addcl 8318	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 + -u N ) e. NN )
20	4, 18, 19	sylancr 405	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 + -u N ) e. NN )
21	17, 20	eqeltrrd 2156	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 - N ) e. NN )
22		nncan 7337	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 1 - ( 1 - N ) ) = N )
23	8, 15, 22	sylancr 405	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( 1 - ( 1 - N ) ) = N )
24	23	eqcomd 2086	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> N = ( 1 - ( 1 - N ) ) )
25		rspceov 5567	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ ( 1 - N ) e. NN /\ N = ( 1 - ( 1 - N ) ) ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
26	14, 21, 24, 25	syl3anc 1169	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
27	13, 26	jaodan 743	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) -> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
28		nnre 8046	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> x e. RR )
29		nnre 8046	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. RR )
30		resubcl 7372	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x - y ) e. RR )
31	28, 29, 30	syl2an 283	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x - y ) e. RR )
32		nnz 8370	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
33		nnz 8370	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
34		zletric 8395	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y <_ x \/ x <_ y ) )
35	32, 33, 34	syl2anr 284	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( y <_ x \/ x <_ y ) )
36		nnnn0 8295	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
37		nnnn0 8295	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
38		nn0sub 8417	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ x e. NN0 ) -> ( y <_ x <-> ( x - y ) e. NN0 ) )
39	36, 37, 38	syl2anr 284	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( y <_ x <-> ( x - y ) e. NN0 ) )
40		nn0sub 8417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x <_ y <-> ( y - x ) e. NN0 ) )
41	37, 36, 40	syl2an 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x <_ y <-> ( y - x ) e. NN0 ) )
42		nncn 8047	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> x e. CC )
43		nncn 8047	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. CC )
44		negsubdi2 7367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> -u ( x - y ) = ( y - x ) )
45	42, 43, 44	syl2an 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> -u ( x - y ) = ( y - x ) )
46	45	eleq1d 2147	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( -u ( x - y ) e. NN0 <-> ( y - x ) e. NN0 ) )
47	41, 46	bitr4d 189	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x <_ y <-> -u ( x - y ) e. NN0 ) )
48	39, 47	orbi12d 739	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( y <_ x \/ x <_ y ) <-> ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) )
49	35, 48	mpbid 145	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) )
50	31, 49	jca 300	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( x - y ) e. RR /\ ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) )
51		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( N = ( x - y ) -> ( N e. RR <-> ( x - y ) e. RR ) )
52		eleq1 2141	. . . . . . 7 |- ( N = ( x - y ) -> ( N e. NN0 <-> ( x - y ) e. NN0 ) )
53		negeq 7301	. . . . . . . 8 |- ( N = ( x - y ) -> -u N = -u ( x - y ) )
54	53	eleq1d 2147	. . . . . . 7 |- ( N = ( x - y ) -> ( -u N e. NN0 <-> -u ( x - y ) e. NN0 ) )
55	52, 54	orbi12d 739	. . . . . 6 |- ( N = ( x - y ) -> ( ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) <-> ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) )
56	51, 55	anbi12d 456	. . . . 5 |- ( N = ( x - y ) -> ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) <-> ( ( x - y ) e. RR /\ ( ( x - y ) e. NN0 \/ -u ( x - y ) e. NN0 ) ) ) )
57	50, 56	syl5ibrcom 155	. . . 4 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( N = ( x - y ) -> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) ) )
58	57	rexlimivv 2482	. . 3 |- ( E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) -> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) )
59	27, 58	impbii 124	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) <-> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )
60	1, 59	bitri 182	1 |- ( N e. ZZ <-> E. x e. NN E. y e. NN N = ( x - y ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   1c1 6982   + caddc 6984   <_ cle 7154   - cmin 7279   -ucneg 7280   NNcn 8039   NN0cn0 8288   ZZcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by:  dfz2  8420