Theorem enq0ex 6629

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ex	|- ~Q0 e. _V

Proof of Theorem enq0ex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4334	. . . 4 |- om e. _V
2		niex 6502	. . . 4 |- N. e. _V
3	1, 2	xpex 4471	. . 3 |- ( om X. N. ) e. _V
4	3, 3	xpex 4471	. 2 |- ( ( om X. N. ) X. ( om X. N. ) ) e. _V
5		df-enq0 6614	. . 3 |- ~Q0 = { <. v , u >. | ( ( v e. ( om X. N. ) /\ u e. ( om X. N. ) ) /\ E. x E. y E. z E. w ( ( v = <. x , y >. /\ u = <. z , w >. ) /\ ( x .o w ) = ( y .o z ) ) ) }
6		opabssxp 4432	. . 3 |- { <. v , u >. | ( ( v e. ( om X. N. ) /\ u e. ( om X. N. ) ) /\ E. x E. y E. z E. w ( ( v = <. x , y >. /\ u = <. z , w >. ) /\ ( x .o w ) = ( y .o z ) ) ) } C_ ( ( om X. N. ) X. ( om X. N. ) )
7	5, 6	eqsstri 3029	. 2 |- ~Q0 C_ ( ( om X. N. ) X. ( om X. N. ) )
8	4, 7	ssexi 3916	1 |- ~Q0 e. _V

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   <.cop 3401   {copab 3838   omcom 4331   X. cxp 4361  (class class class)co 5532   .o comu 6022   N.cnpi 6462   ~_Q0 ceq0 6476

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-opab 3840  df-iom 4332  df-xp 4369  df-ni 6494  df-enq0 6614

This theorem is referenced by:  nqnq0  6631  addnnnq0  6639  mulnnnq0  6640  addclnq0  6641  mulclnq0  6642  prarloclemcalc  6692