Theorem enq0ex 6629

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ex	⊢ ~Q0 ∈ V

Proof of Theorem enq0ex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4334	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
2		niex 6502	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	1, 2	xpex 4471	. . 3 ⊢ (ω × N) ∈ V
4	3, 3	xpex 4471	. 2 ⊢ ((ω × N) × (ω × N)) ∈ V
5		df-enq0 6614	. . 3 ⊢ ~Q0 = {⟨𝑣, 𝑢⟩ ∣ ((𝑣 ∈ (ω × N) ∧ 𝑢 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((𝑣 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑢 = ⟨𝑧, 𝑤⟩) ∧ (𝑥 ·𝑜 𝑤) = (𝑦 ·𝑜 𝑧)))}
6		opabssxp 4432	. . 3 ⊢ {⟨𝑣, 𝑢⟩ ∣ ((𝑣 ∈ (ω × N) ∧ 𝑢 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤((𝑣 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝑢 = ⟨𝑧, 𝑤⟩) ∧ (𝑥 ·𝑜 𝑤) = (𝑦 ·𝑜 𝑧)))} ⊆ ((ω × N) × (ω × N))
7	5, 6	eqsstri 3029	. 2 ⊢ ~Q0 ⊆ ((ω × N) × (ω × N))
8	4, 7	ssexi 3916	1 ⊢ ~Q0 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 102   = wceq 1284  ∃wex 1421   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601  ⟨cop 3401  {copab 3838  ωcom 4331   × cxp 4361  (class class class)co 5532   ·_𝑜 comu 6022  Ncnpi 6462   ~_Q0 ceq0 6476

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-opab 3840  df-iom 4332  df-xp 4369  df-ni 6494  df-enq0 6614

This theorem is referenced by:  nqnq0  6631  addnnnq0  6639  mulnnnq0  6640  addclnq0  6641  mulclnq0  6642  prarloclemcalc  6692