Theorem enqdc 6551

Description: The equivalence relation for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enqdc	|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> DECID <. A , B >. ~Q <. C , D >. )

Proof of Theorem enqdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 6518	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ D e. N. ) -> ( A .N D ) e. N. )
2		mulclpi 6518	. . . 4 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B .N C ) e. N. )
3		pinn 6499	. . . . 5 |- ( ( A .N D ) e. N. -> ( A .N D ) e. om )
4		pinn 6499	. . . . 5 |- ( ( B .N C ) e. N. -> ( B .N C ) e. om )
5		nndceq 6100	. . . . 5 |- ( ( ( A .N D ) e. om /\ ( B .N C ) e. om ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
6	3, 4, 5	syl2an 283	. . . 4 |- ( ( ( A .N D ) e. N. /\ ( B .N C ) e. N. ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
7	1, 2, 6	syl2an 283	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ D e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
8	7	an42s 553	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) )
9		enqbreq 6546	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q <. C , D >. <-> ( A .N D ) = ( B .N C ) ) )
10	9	dcbid 781	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> (DECID <. A , B >. ~Q <. C , D >. <-> DECID ( A .N D ) = ( B .N C ) ) )
11	8, 10	mpbird 165	1 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> DECID <. A , B >. ~Q <. C , D >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102  DECID wdc 775   = wceq 1284   e. wcel 1433   <.cop 3401   class class class wbr 3785   omcom 4331  (class class class)co 5532   N.cnpi 6462   .N cmi 6464   ~Q ceq 6469

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-ni 6494  df-mi 6496  df-enq 6537

This theorem is referenced by:  enqdc1  6552