Theorem enqex 6550

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enqex	|- ~Q e. _V

Proof of Theorem enqex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		niex 6502	. . . 4 |- N. e. _V
2	1, 1	xpex 4471	. . 3 |- ( N. X. N. ) e. _V
3	2, 2	xpex 4471	. 2 |- ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) e. _V
4		df-enq 6537	. . 3 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
5		opabssxp 4432	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) } C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
6	4, 5	eqsstri 3029	. 2 |- ~Q C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
7	3, 6	ssexi 3916	1 |- ~Q e. _V

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   <.cop 3401   {copab 3838   X. cxp 4361  (class class class)co 5532   N.cnpi 6462   .N cmi 6464   ~Q ceq 6469

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-opab 3840  df-iom 4332  df-xp 4369  df-ni 6494  df-enq 6537

This theorem is referenced by:  1nq  6556  addpipqqs  6560  mulpipqqs  6563  ordpipqqs  6564  addclnq  6565  mulclnq  6566  dmaddpq  6569  dmmulpq  6570  recexnq  6580  ltexnqq  6598  prarloclemarch  6608  prarloclemarch2  6609  nnnq  6612  nqpnq0nq  6643  prarloclemlt  6683  prarloclemlo  6684  prarloclemcalc  6692  nqprm  6732