Theorem eqrelrdv 4454

Description: Deduce equality of relations from equivalence of membership. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqrelrdv.1	|- Rel A
eqrelrdv.2	|- Rel B
eqrelrdv.3	|- ( ph -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
eqrelrdv	|- ( ph -> A = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ph, x, y

Proof of Theorem eqrelrdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelrdv.3	. . 3 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 1796	. 2 |- ( ph -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
3		eqrelrdv.1	. . 3 |- Rel A
4		eqrelrdv.2	. . 3 |- Rel B
5		eqrel 4447	. . 3 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )
6	3, 4, 5	mp2an 416	. 2 |- ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
7	2, 6	sylibr 132	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   <.cop 3401   Rel wrel 4368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370

This theorem is referenced by:  eqbrrdiv  4456  fcnvres  5093  fmptco  5351