Theorem fmptco 5351

Description: Composition of two functions expressed as ordered-pair class abstractions. If F has the equation ( x + 2 ) and G the equation ( 3 * z ) then ( G o. F ) has the equation ( 3 * ( x + 2 ) ) . (Contributed by FL, 21-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptco.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. B )
fmptco.2	|- ( ph -> F = ( x e. A |-> R ) )
fmptco.3	|- ( ph -> G = ( y e. B |-> S ) )
fmptco.4	|- ( y = R -> S = T )

Assertion

Ref	Expression
fmptco	|- ( ph -> ( G o. F ) = ( x e. A |-> T ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   y, R   ph, x   x, S   y, T

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y)   R( x)   S( y)   T( x)   F( x, y)   G( x, y)

Proof of Theorem fmptco

Dummy variables v u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 4839	. 2 |- Rel ( G o. F )
2		funmpt 4958	. . 3 |- Fun ( x e. A |-> T )
3		funrel 4939	. . 3 |- ( Fun ( x e. A |-> T ) -> Rel ( x e. A |-> T ) )
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 |- Rel ( x e. A |-> T )
5		fmptco.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. B )
6		eqid 2081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R )
7	5, 6	fmptd 5343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. A |-> R ) : A --> B )
8		fmptco.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> R ) )
9	8	feq1d 5054	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F : A --> B <-> ( x e. A |-> R ) : A --> B ) )
10	7, 9	mpbird 165	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> B )
11		ffun 5068	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> B -> Fun F )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Fun F )
13		funbrfv 5233	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( z F u -> ( F ` z ) = u ) )
14	13	imp 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z F u ) -> ( F ` z ) = u )
15	12, 14	sylan 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z F u ) -> ( F ` z ) = u )
16	15	eqcomd 2086	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z F u ) -> u = ( F ` z ) )
17	16	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z F u ) -> ( u G w -> u = ( F ` z ) ) )
18	17	expimpd 355	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( z F u /\ u G w ) -> u = ( F ` z ) ) )
19	18	pm4.71rd 386	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z F u /\ u G w ) <-> ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) ) )
20	19	exbidv 1746	. . . 4 |- ( ph -> ( E. u ( z F u /\ u G w ) <-> E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) ) )
21		exsimpl 1548	. . . . . . 7 |- ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) -> E. u u = ( F ` z ) )
22		isset 2605	. . . . . . 7 |- ( ( F ` z ) e. _V <-> E. u u = ( F ` z ) )
23	21, 22	sylibr 132	. . . . . 6 |- ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) -> ( F ` z ) e. _V )
24	23	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) -> ( F ` z ) e. _V ) )
25	12	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> Fun F )
26		fdm 5070	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
27	10, 26	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom F = A )
28	27	eleq2d 2148	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. dom F <-> z e. A ) )
29	28	biimpar 291	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. dom F )
30		funfvex 5212	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. _V )
31	25, 29, 30	syl2anc 403	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. _V )
32	31	adantrr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) -> ( F ` z ) e. _V )
33	32	ex 113	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) -> ( F ` z ) e. _V ) )
34		breq2 3789	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` z ) -> ( z F u <-> z F ( F ` z ) ) )
35		breq1 3788	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` z ) -> ( u G w <-> ( F ` z ) G w ) )
36	34, 35	anbi12d 456	. . . . . . . 8 |- ( u = ( F ` z ) -> ( ( z F u /\ u G w ) <-> ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) ) )
37	36	ceqsexgv 2724	. . . . . . 7 |- ( ( F ` z ) e. _V -> ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) <-> ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) ) )
38		funfvbrb 5301	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( z e. dom F <-> z F ( F ` z ) ) )
39	12, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. dom F <-> z F ( F ` z ) ) )
40	39, 28	bitr3d 188	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z F ( F ` z ) <-> z e. A ) )
41	8	fveq1d 5200	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` z ) = ( ( x e. A |-> R ) ` z ) )
42		fmptco.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( y e. B |-> S ) )
43		eqidd 2082	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> w = w )
44	41, 42, 43	breq123d 3799	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` z ) G w <-> ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) )
45	40, 44	anbi12d 456	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) <-> ( z e. A /\ ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) ) )
46		nfcv 2219	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x z
47		nfv 1461	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ph
48		nffvmpt1 5206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( x e. A |-> R ) ` z )
49		nfcv 2219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( y e. B |-> S )
50		nfcv 2219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x w
51	48, 49, 50	nfbr 3829	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w
52		nfcsb1v 2938	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ z / x ]_ T
53	52	nfeq2 2230	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x w = [_ z / x ]_ T
54	51, 53	nfbi 1521	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T )
55	47, 54	nfim 1504	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
56		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = ( ( x e. A |-> R ) ` z ) )
57	56	breq1d 3795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) )
58		csbeq1a 2916	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> T = [_ z / x ]_ T )
59	58	eqeq2d 2092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( w = T <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
60	57, 59	bibi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) <-> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) )
61	60	imbi2d 228	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) ) <-> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) ) )
62		vex 2604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
63		simpl 107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> y = R )
64	63	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> ( y e. B <-> R e. B ) )
65		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> u = w )
66		fmptco.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = R -> S = T )
67	66	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> S = T )
68	65, 67	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> ( u = S <-> w = T ) )
69	64, 68	anbi12d 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> ( ( y e. B /\ u = S ) <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
70		df-mpt 3841	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. B |-> S ) = { <. y , u >. | ( y e. B /\ u = S ) }
71	69, 70	brabga 4019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. B /\ w e. _V ) -> ( R ( y e. B |-> S ) w <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
72	5, 62, 71	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R ( y e. B |-> S ) w <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
73		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
74	6	fvmpt2 5275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ R e. B ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = R )
75	73, 5, 74	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = R )
76	75	breq1d 3795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> R ( y e. B |-> S ) w ) )
77	5	biantrurd 299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( w = T <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
78	72, 76, 77	3bitr4d 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) )
79	78	expcom 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) ) )
80	46, 55, 61, 79	vtoclgaf 2663	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. A -> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) )
81	80	impcom 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
82	81	pm5.32da 439	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( z e. A /\ ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
83	45, 82	bitrd 186	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
84	37, 83	sylan9bbr 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F ` z ) e. _V ) -> ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
85	84	ex 113	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` z ) e. _V -> ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) ) )
86	24, 33, 85	pm5.21ndd 653	. . . 4 |- ( ph -> ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
87	20, 86	bitrd 186	. . 3 |- ( ph -> ( E. u ( z F u /\ u G w ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
88		vex 2604	. . . 4 |- z e. _V
89	88, 62	opelco 4525	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( G o. F ) <-> E. u ( z F u /\ u G w ) )
90		df-mpt 3841	. . . . 5 |- ( x e. A |-> T ) = { <. x , v >. | ( x e. A /\ v = T ) }
91	90	eleq2i 2145	. . . 4 |- ( <. z , w >. e. ( x e. A |-> T ) <-> <. z , w >. e. { <. x , v >. | ( x e. A /\ v = T ) } )
92		nfv 1461	. . . . . 6 |- F/ x z e. A
93	52	nfeq2 2230	. . . . . 6 |- F/ x v = [_ z / x ]_ T
94	92, 93	nfan 1497	. . . . 5 |- F/ x ( z e. A /\ v = [_ z / x ]_ T )
95		nfv 1461	. . . . 5 |- F/ v ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T )
96		eleq1 2141	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
97	58	eqeq2d 2092	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( v = T <-> v = [_ z / x ]_ T ) )
98	96, 97	anbi12d 456	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( x e. A /\ v = T ) <-> ( z e. A /\ v = [_ z / x ]_ T ) ) )
99		eqeq1 2087	. . . . . 6 |- ( v = w -> ( v = [_ z / x ]_ T <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
100	99	anbi2d 451	. . . . 5 |- ( v = w -> ( ( z e. A /\ v = [_ z / x ]_ T ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
101	94, 95, 88, 62, 98, 100	opelopabf 4029	. . . 4 |- ( <. z , w >. e. { <. x , v >. | ( x e. A /\ v = T ) } <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) )
102	91, 101	bitri 182	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( x e. A |-> T ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) )
103	87, 89, 102	3bitr4g 221	. 2 |- ( ph -> ( <. z , w >. e. ( G o. F ) <-> <. z , w >. e. ( x e. A |-> T ) ) )
104	1, 4, 103	eqrelrdv 4454	1 |- ( ph -> ( G o. F ) = ( x e. A |-> T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   [_csb 2908   <.cop 3401   class class class wbr 3785   {copab 3838   |-> cmpt 3839   dom cdm 4363   o. ccom 4367   Rel wrel 4368   Fun wfun 4916   -->wf 4918   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  fmptcof  5352  fcompt  5354  fcoconst  5355  ofco  5749