Theorem eucalgval2 10435

Description: The value of the step function E for Euclid's Algorithm on an ordered pair. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eucalgval.1	|- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
eucalgval2	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M E N ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )

Distinct variable groups:   x, y, M   x, N, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem eucalgval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 3983	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> <. M , N >. e. _V )
2	1	adantr 270	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N = 0 ) -> <. M , N >. e. _V )
3		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
4	3	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> N e. NN0 )
5		simpl 107	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
6	5	nn0zd 8467	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
7	6	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> M e. ZZ )
8		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> -. N = 0 )
9	8	neqned 2252	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
10		elnnne0 8302	. . . . . 6 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )
11	4, 9, 10	sylanbrc 408	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> N e. NN )
12	7, 11	zmodcld 9347	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> ( M mod N ) e. NN0 )
13		opexg 3983	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( M mod N ) e. NN0 ) -> <. N , ( M mod N ) >. e. _V )
14	4, 12, 13	syl2anc 403	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> <. N , ( M mod N ) >. e. _V )
15	3	nn0zd 8467	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
16		0zd 8363	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
17		zdceq 8423	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
18	15, 16, 17	syl2anc 403	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> DECID N = 0 )
19	2, 14, 18	ifcldadc 3378	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) e. _V )
20		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> y = N )
21	20	eqeq1d 2089	. . . 4 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> ( y = 0 <-> N = 0 ) )
22		opeq12 3572	. . . 4 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> <. x , y >. = <. M , N >. )
23		oveq12 5541	. . . . 5 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> ( x mod y ) = ( M mod N ) )
24	20, 23	opeq12d 3578	. . . 4 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> <. y , ( x mod y ) >. = <. N , ( M mod N ) >. )
25	21, 22, 24	ifbieq12d 3375	. . 3 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )
26		eucalgval.1	. . 3 |- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )
27	25, 26	ovmpt2ga 5650	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) e. _V ) -> ( M E N ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )
28	19, 27	mpd3an3 1269	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M E N ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102  DECID wdc 775   = wceq 1284   e. wcel 1433   =/= wne 2245   _Vcvv 2601   ifcif 3351   <.cop 3401  (class class class)co 5532   |-> cmpt2 5534   0cc0 6981   NNcn 8039   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   mod cmo 9324

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-q 8705  df-rp 8735  df-fl 9274  df-mod 9325

This theorem is referenced by:  eucalgval  10436