Theorem opeq12d 3578

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	|- ( ph -> A = B )
opeq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	|- ( ph -> <. A , C >. = <. B , D >. )

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		opeq12d.2	. 2 |- ( ph -> C = D )
3		opeq12 3572	. 2 |- ( ( A = B /\ C = D ) -> <. A , C >. = <. B , D >. )
4	1, 2, 3	syl2anc 403	1 |- ( ph -> <. A , C >. = <. B , D >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1284   <.cop 3401

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407

This theorem is referenced by:  nfopd  3587  moop2  4006  fliftfuns  5458  elxp6  5816  dfmpt2  5864  tfrlemi1  5969  qliftfuns  6213  xpassen  6327  xpdom2  6328  dfplpq2  6544  dfmpq2  6545  addpipqqs  6560  mulpipq2  6561  mulpipq  6562  mulpipqqs  6563  mulidnq  6579  addnq0mo  6637  mulnq0mo  6638  addnnnq0  6639  mulnnnq0  6640  nqnq0a  6644  nqnq0m  6645  nq0a0  6647  nq02m  6655  genpdf  6698  genipv  6699  genpelxp  6701  addcomprg  6768  mulcomprg  6770  prplnqu  6810  cauappcvgprlemlim  6851  caucvgprprlemell  6875  caucvgprprlemelu  6876  caucvgprprlemcbv  6877  caucvgprprlemval  6878  caucvgprprlemnkeqj  6880  caucvgprprlemml  6884  caucvgprprlemmu  6885  caucvgprprlemopl  6887  caucvgprprlemlol  6888  caucvgprprlemopu  6889  caucvgprprlemloc  6893  caucvgprprlemclphr  6895  caucvgprprlemexbt  6896  caucvgprprlem1  6899  caucvgprprlem2  6900  addsrmo  6920  mulsrmo  6921  addsrpr  6922  mulsrpr  6923  caucvgsr  6978  addcnsr  7002  mulcnsr  7003  mulresr  7006  pitonnlem2  7015  pitonn  7016  recidpipr  7024  axaddcom  7036  ax0id  7044  axcnre  7047  nntopi  7060  axcaucvglemval  7063  frecuzrdgrrn  9410  frec2uzrdg  9411  frecuzrdgsuc  9417  iseqeq1  9434  eucalgval2  10435