Theorem exp1 9482

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by NM, 20-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
exp1	|- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = A )

Proof of Theorem exp1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8050	. . 3 |- 1 e. NN
2		expinnval 9479	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. NN ) -> ( A ^ 1 ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) , CC ) ` 1 ) )
3	1, 2	mpan2 415	. 2 |- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) , CC ) ` 1 ) )
4		1zzd 8378	. . 3 |- ( A e. CC -> 1 e. ZZ )
5		cnex 7097	. . . 4 |- CC e. _V
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> CC e. _V )
7		elnnuz 8655	. . . . 5 |- ( x e. NN <-> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
8		fvconst2g 5396	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { A } ) ` x ) = A )
9	7, 8	sylan2br 282	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { A } ) ` x ) = A )
10		simpl 107	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> A e. CC )
11	9, 10	eqeltrd 2155	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { A } ) ` x ) e. CC )
12		mulcl 7100	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
13	12	adantl 271	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
14	4, 6, 11, 13	iseq1 9442	. 2 |- ( A e. CC -> ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) , CC ) ` 1 ) = ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) )
15		fvconst2g 5396	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. NN ) -> ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) = A )
16	1, 15	mpan2 415	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) = A )
17	3, 14, 16	3eqtrd 2117	1 |- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   {csn 3398   X. cxp 4361   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   1c1 6982   x. cmul 6986   NNcn 8039   ZZ>=cuz 8619   seqcseq 9431   ^cexp 9475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432  df-iexp 9476

This theorem is referenced by:  expp1  9483  expn1ap0  9486  expcllem  9487  expap0  9506  expp1zap  9525  expm1ap  9526  sqval  9534  expnbnd  9596  exp1d  9600