Theorem f1mpt 5431

Description: Express injection for a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1mpt.1	|- F = ( x e. A |-> C )
f1mpt.2	|- ( x = y -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
f1mpt	|- ( F : A -1-1-> B <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D   y, F

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)   F( x)

Proof of Theorem f1mpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1mpt.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> C )
2		nfmpt1 3871	. . . 4 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
3	1, 2	nfcxfr 2216	. . 3 |- F/_ x F
4		nfcv 2219	. . 3 |- F/_ y F
5	3, 4	dff13f 5430	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
6	1	fmpt 5340	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )
7	6	anbi1i 445	. 2 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
8		f1mpt.2	. . . . . . 7 |- ( x = y -> C = D )
9	8	eleq1d 2147	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( C e. B <-> D e. B ) )
10	9	cbvralv 2577	. . . . 5 |- ( A. x e. A C e. B <-> A. y e. A D e. B )
11		raaanv 3348	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. A D e. B ) )
12	1	fvmpt2 5275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ C e. B ) -> ( F ` x ) = C )
13	8, 1	fvmptg 5269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ D e. B ) -> ( F ` y ) = D )
14	12, 13	eqeqan12d 2096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. A /\ C e. B ) /\ ( y e. A /\ D e. B ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> C = D ) )
15	14	an4s 552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( C e. B /\ D e. B ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> C = D ) )
16	15	imbi1d 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( C e. B /\ D e. B ) ) -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) )
17	16	ex 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( C e. B /\ D e. B ) -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) ) )
18	17	ralimdva 2429	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> A. y e. A ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) ) )
19		ralbi 2489	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) -> ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
20	18, 19	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) ) )
21	20	ralimia 2424	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> A. x e. A ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
22		ralbi 2489	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
24	11, 23	sylbir 133	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. A D e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
25	10, 24	sylan2b 281	. . . 4 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A C e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
26	25	anidms 389	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
27	26	pm5.32i 441	. 2 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
28	5, 7, 27	3bitr2i 206	1 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   |-> cmpt 3839   -->wf 4918   -1-1->wf1 4919   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fv 4930

This theorem is referenced by: (None)