Theorem ener 6282

Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ener	|- ~~ Er _V

Proof of Theorem ener

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6248	. . . 4 |- Rel ~~
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel ~~ )
3		bren 6251	. . . . 5 |- ( x ~~ y <-> E. f f : x -1-1-onto-> y )
4		f1ocnv 5159	. . . . . . 7 |- ( f : x -1-1-onto-> y -> `' f : y -1-1-onto-> x )
5		vex 2604	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6		vex 2604	. . . . . . . 8 |- x e. _V
7		f1oen2g 6258	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V /\ `' f : y -1-1-onto-> x ) -> y ~~ x )
8	5, 6, 7	mp3an12 1258	. . . . . . 7 |- ( `' f : y -1-1-onto-> x -> y ~~ x )
9	4, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( f : x -1-1-onto-> y -> y ~~ x )
10	9	exlimiv 1529	. . . . 5 |- ( E. f f : x -1-1-onto-> y -> y ~~ x )
11	3, 10	sylbi 119	. . . 4 |- ( x ~~ y -> y ~~ x )
12	11	adantl 271	. . 3 |- ( ( T. /\ x ~~ y ) -> y ~~ x )
13		bren 6251	. . . . 5 |- ( x ~~ y <-> E. g g : x -1-1-onto-> y )
14		bren 6251	. . . . 5 |- ( y ~~ z <-> E. f f : y -1-1-onto-> z )
15		eeanv 1848	. . . . . 6 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) <-> ( E. g g : x -1-1-onto-> y /\ E. f f : y -1-1-onto-> z ) )
16		f1oco 5169	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : y -1-1-onto-> z /\ g : x -1-1-onto-> y ) -> ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z )
17	16	ancoms 264	. . . . . . . 8 |- ( ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) -> ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z )
18		vex 2604	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
19		f1oen2g 6258	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ z e. _V /\ ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
20	6, 18, 19	mp3an12 1258	. . . . . . . 8 |- ( ( f o. g ) : x -1-1-onto-> z -> x ~~ z )
21	17, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
22	21	exlimivv 1817	. . . . . 6 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-onto-> y /\ f : y -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
23	15, 22	sylbir 133	. . . . 5 |- ( ( E. g g : x -1-1-onto-> y /\ E. f f : y -1-1-onto-> z ) -> x ~~ z )
24	13, 14, 23	syl2anb 285	. . . 4 |- ( ( x ~~ y /\ y ~~ z ) -> x ~~ z )
25	24	adantl 271	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x ~~ y /\ y ~~ z ) ) -> x ~~ z )
26	6	enref 6268	. . . . 5 |- x ~~ x
27	6, 26	2th 172	. . . 4 |- ( x e. _V <-> x ~~ x )
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. _V <-> x ~~ x ) )
29	2, 12, 25, 28	iserd 6155	. 2 |- ( T. -> ~~ Er _V )
30	29	trud 1293	1 |- ~~ Er _V

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   T. wtru 1285   E.wex 1421   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   class class class wbr 3785   `'ccnv 4362   o. ccom 4367   Rel wrel 4368   -1-1-onto->wf1o 4921   Er wer 6126   ~~ cen 6242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-er 6129  df-en 6245

This theorem is referenced by:  ensymb  6283  entr  6287