Theorem f1oresrab 5350

Description: Build a bijection between restricted abstract builders, given a bijection between the base classes, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1oresrab.1	|- F = ( x e. A |-> C )
f1oresrab.2	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
f1oresrab.3	|- ( ( ph /\ x e. A /\ y = C ) -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
f1oresrab	|- ( ph -> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   ph, x, y   ps, y   ch, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y)   C( x)   F( x, y)

Proof of Theorem f1oresrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oresrab.2	. . . 4 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
2		f1ofun 5148	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun F )
3		funcnvcnv 4978	. . . 4 |- ( Fun F -> Fun `' `' F )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> Fun `' `' F )
5		f1ocnv 5159	. . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> `' F : B -1-1-onto-> A )
7		f1of1 5145	. . . . . 6 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B -1-1-> A )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' F : B -1-1-> A )
9		ssrab2 3079	. . . . 5 |- { y e. B | ch } C_ B
10		f1ores 5161	. . . . 5 |- ( ( `' F : B -1-1-> A /\ { y e. B | ch } C_ B ) -> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) )
11	8, 9, 10	sylancl 404	. . . 4 |- ( ph -> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) )
12		f1oresrab.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. A |-> C )
13	12	mptpreima 4834	. . . . . 6 |- ( `' F " { y e. B | ch } ) = { x e. A | C e. { y e. B | ch } }
14		f1oresrab.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y = C ) -> ( ch <-> ps ) )
15	14	3expia 1140	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( y = C -> ( ch <-> ps ) ) )
16	15	alrimiv 1795	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y ( y = C -> ( ch <-> ps ) ) )
17		f1of 5146	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : A --> B )
19	12	fmpt 5340	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )
20	18, 19	sylibr 132	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A C e. B )
21	20	r19.21bi 2449	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
22		elrab3t 2748	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y ( y = C -> ( ch <-> ps ) ) /\ C e. B ) -> ( C e. { y e. B | ch } <-> ps ) )
23	16, 21, 22	syl2anc 403	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C e. { y e. B | ch } <-> ps ) )
24	23	rabbidva 2592	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. A | C e. { y e. B | ch } } = { x e. A | ps } )
25	13, 24	syl5eq 2125	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' F " { y e. B | ch } ) = { x e. A | ps } )
26		f1oeq3 5139	. . . . 5 |- ( ( `' F " { y e. B | ch } ) = { x e. A | ps } -> ( ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) <-> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } ) )
27	25, 26	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) <-> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } ) )
28	11, 27	mpbid 145	. . 3 |- ( ph -> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } )
29		f1orescnv 5162	. . 3 |- ( ( Fun `' `' F /\ ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } ) -> ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
30	4, 28, 29	syl2anc 403	. 2 |- ( ph -> ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
31		rescnvcnv 4803	. . 3 |- ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) = ( F |` { x e. A | ps } )
32		f1oeq1 5137	. . 3 |- ( ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) = ( F |` { x e. A | ps } ) -> ( ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } <-> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } ) )
33	31, 32	ax-mp 7	. 2 |- ( ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } <-> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
34	30, 33	sylib 120	1 |- ( ph -> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   {crab 2352   C_ wss 2973   |-> cmpt 3839   `'ccnv 4362   |` cres 4365   "cima 4366   Fun wfun 4916   -->wf 4918   -1-1->wf1 4919   -1-1-onto->wf1o 4921

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930

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