Theorem frecsuclemdm 6011

Description: Lemma for frecsuc 6014. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecsuclem1.h	|- G = ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
frecsuclemdm	|- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V /\ B e. om ) -> dom (recs ( G ) |` suc B ) = suc B )

Distinct variable groups:   A, g, m, x, z   B, g, m, x, z   g, F, m, x, z   g, G, m, x, z   g, V, m, x

Allowed substitution hint:   V( z)

Proof of Theorem frecsuclemdm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4350	. . . . 5 |- ( B e. om -> B e. On )
2		suceloni 4245	. . . . 5 |- ( B e. On -> suc B e. On )
3		onss 4237	. . . . 5 |- ( suc B e. On -> suc B C_ On )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . 4 |- ( B e. om -> suc B C_ On )
5	4	3ad2ant3 961	. . 3 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V /\ B e. om ) -> suc B C_ On )
6		eqid 2081	. . . . . . 7 |- recs ( G ) = recs ( G )
7		frecsuclem1.h	. . . . . . . 8 |- G = ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )
8	7	frectfr 6008	. . . . . . 7 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> A. y ( Fun G /\ ( G ` y ) e. _V ) )
9	6, 8	tfri1d 5972	. . . . . 6 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> recs ( G ) Fn On )
10		fndm 5018	. . . . . 6 |- (recs ( G ) Fn On -> dom recs ( G ) = On )
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> dom recs ( G ) = On )
12	11	sseq2d 3027	. . . 4 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> ( suc B C_ dom recs ( G ) <-> suc B C_ On ) )
13	12	3adant3 958	. . 3 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V /\ B e. om ) -> ( suc B C_ dom recs ( G ) <-> suc B C_ On ) )
14	5, 13	mpbird 165	. 2 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V /\ B e. om ) -> suc B C_ dom recs ( G ) )
15		ssdmres 4651	. 2 |- ( suc B C_ dom recs ( G ) <-> dom (recs ( G ) |` suc B ) = suc B )
16	14, 15	sylib 120	1 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V /\ B e. om ) -> dom (recs ( G ) |` suc B ) = suc B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   /\ w3a 919   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   {cab 2067   E.wrex 2349   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   (/)c0 3251   |-> cmpt 3839   Oncon0 4118   suc csuc 4120   omcom 4331   dom cdm 4363   |` cres 4365   Fn wfn 4917   ` cfv 4922  recscrecs 5942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-recs 5943

This theorem is referenced by:  frecsuclem3  6013