Theorem frecsuclemdm 6011

Description: Lemma for frecsuc 6014. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecsuclem1.h	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔‘𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))})

Assertion

Ref	Expression
frecsuclemdm	⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ω) → dom (recs(𝐺) ↾ suc 𝐵) = suc 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑚,𝑥,𝑧   𝐵,𝑔,𝑚,𝑥,𝑧   𝑔,𝐹,𝑚,𝑥,𝑧   𝑔,𝐺,𝑚,𝑥,𝑧   𝑔,𝑉,𝑚,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem frecsuclemdm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4350	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
2		suceloni 4245	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → suc 𝐵 ∈ On)
3		onss 4237	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ On → suc 𝐵 ⊆ On)
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ⊆ On)
5	4	3ad2ant3 961	. . 3 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ω) → suc 𝐵 ⊆ On)
6		eqid 2081	. . . . . . 7 ⊢ recs(𝐺) = recs(𝐺)
7		frecsuclem1.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∣ (∃𝑚 ∈ ω (dom 𝑔 = suc 𝑚 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘(𝑔‘𝑚))) ∨ (dom 𝑔 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))})
8	7	frectfr 6008	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑦(Fun 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ V))
9	6, 8	tfri1d 5972	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → recs(𝐺) Fn On)
10		fndm 5018	. . . . . 6 ⊢ (recs(𝐺) Fn On → dom recs(𝐺) = On)
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom recs(𝐺) = On)
12	11	sseq2d 3027	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (suc 𝐵 ⊆ dom recs(𝐺) ↔ suc 𝐵 ⊆ On))
13	12	3adant3 958	. . 3 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐵 ⊆ dom recs(𝐺) ↔ suc 𝐵 ⊆ On))
14	5, 13	mpbird 165	. 2 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ω) → suc 𝐵 ⊆ dom recs(𝐺))
15		ssdmres 4651	. 2 ⊢ (suc 𝐵 ⊆ dom recs(𝐺) ↔ dom (recs(𝐺) ↾ suc 𝐵) = suc 𝐵)
16	14, 15	sylib 120	1 ⊢ ((∀𝑧(𝐹‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ω) → dom (recs(𝐺) ↾ suc 𝐵) = suc 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661   ∧ w3a 919  ∀wal 1282   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  {cab 2067  ∃wrex 2349  Vcvv 2601   ⊆ wss 2973  ∅c0 3251   ↦ cmpt 3839  Oncon0 4118  suc csuc 4120  ωcom 4331  dom cdm 4363   ↾ cres 4365   Fn wfn 4917  ‘cfv 4922  recscrecs 5942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-recs 5943

This theorem is referenced by:  frecsuclem3  6013