Theorem frecuzrdgrom 9412

Description: The function R (used in the definition of the recursive definition generator on upper integers) is a function defined for all natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
uzrdg.s	|- ( ph -> S e. V )
uzrdg.a	|- ( ph -> A e. S )
uzrdg.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
uzrdg.2	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgrom	|- ( ph -> R Fn om )

Distinct variable groups:   y, A   x, C, y   y, G   x, F, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   R( x, y)   G( x)   V( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdgrom

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 8360	. . . . . . 7 |- ZZ e. _V
2		uzssz 8638	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` C ) C_ ZZ
3	1, 2	ssexi 3916	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` C ) e. _V
4		uzrdg.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. V )
5		mpt2exga 5855	. . . . . 6 |- ( ( ( ZZ>= ` C ) e. _V /\ S e. V ) -> ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) e. _V )
6	3, 4, 5	sylancr 405	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) e. _V )
7		vex 2604	. . . . 5 |- z e. _V
8		fvexg 5214	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) e. _V /\ z e. _V ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. _V )
9	6, 7, 8	sylancl 404	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. _V )
10	9	alrimiv 1795	. . 3 |- ( ph -> A. z ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. _V )
11		frec2uz.1	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ZZ )
12		uzid 8633	. . . . 5 |- ( C e. ZZ -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` C ) )
14		uzrdg.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
15		opelxp 4392	. . . 4 |- ( <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) <-> ( C e. ( ZZ>= ` C ) /\ A e. S ) )
16	13, 14, 15	sylanbrc 408	. . 3 |- ( ph -> <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
17		frecfnom 6009	. . 3 |- ( ( A. z ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) ` z ) e. _V /\ <. C , A >. e. ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) Fn om )
18	10, 16, 17	syl2anc 403	. 2 |- ( ph -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) Fn om )
19		uzrdg.2	. . 3 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
20	19	fneq1i 5013	. 2 |- ( R Fn om <-> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) Fn om )
21	18, 20	sylibr 132	1 |- ( ph -> R Fn om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   <.cop 3401   |-> cmpt 3839   omcom 4331   X. cxp 4361   Fn wfn 4917   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   |-> cmpt2 5534  freccfrec 6000   1c1 6982   + caddc 6984   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-ltirr 7088

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-neg 7282  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  frecuzrdglem  9413  frecuzrdgfn  9414  frecuzrdg0  9416