Theorem funtp 4972

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
funtp.1	|- A e. _V
funtp.2	|- B e. _V
funtp.3	|- C e. _V
funtp.4	|- D e. _V
funtp.5	|- E e. _V
funtp.6	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
funtp	|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } )

Proof of Theorem funtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funtp.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		funtp.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3		funtp.4	. . . . . 6 |- D e. _V
4		funtp.5	. . . . . 6 |- E e. _V
5	1, 2, 3, 4	funpr 4971	. . . . 5 |- ( A =/= B -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. } )
6		funtp.3	. . . . . 6 |- C e. _V
7		funtp.6	. . . . . 6 |- F e. _V
8	6, 7	funsn 4968	. . . . 5 |- Fun { <. C , F >. }
9	5, 8	jctir 306	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. } /\ Fun { <. C , F >. } ) )
10	3, 4	dmprop 4815	. . . . . . 7 |- dom { <. A , D >. , <. B , E >. } = { A , B }
11		df-pr 3405	. . . . . . 7 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
12	10, 11	eqtri 2101	. . . . . 6 |- dom { <. A , D >. , <. B , E >. } = ( { A } u. { B } )
13	7	dmsnop 4814	. . . . . 6 |- dom { <. C , F >. } = { C }
14	12, 13	ineq12i 3165	. . . . 5 |- ( dom { <. A , D >. , <. B , E >. } i^i dom { <. C , F >. } ) = ( ( { A } u. { B } ) i^i { C } )
15		disjsn2 3455	. . . . . . 7 |- ( A =/= C -> ( { A } i^i { C } ) = (/) )
16		disjsn2 3455	. . . . . . 7 |- ( B =/= C -> ( { B } i^i { C } ) = (/) )
17	15, 16	anim12i 331	. . . . . 6 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( { A } i^i { C } ) = (/) /\ ( { B } i^i { C } ) = (/) ) )
18		undisj1 3301	. . . . . 6 |- ( ( ( { A } i^i { C } ) = (/) /\ ( { B } i^i { C } ) = (/) ) <-> ( ( { A } u. { B } ) i^i { C } ) = (/) )
19	17, 18	sylib 120	. . . . 5 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( { A } u. { B } ) i^i { C } ) = (/) )
20	14, 19	syl5eq 2125	. . . 4 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( dom { <. A , D >. , <. B , E >. } i^i dom { <. C , F >. } ) = (/) )
21		funun 4964	. . . 4 |- ( ( ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. } /\ Fun { <. C , F >. } ) /\ ( dom { <. A , D >. , <. B , E >. } i^i dom { <. C , F >. } ) = (/) ) -> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
22	9, 20, 21	syl2an 283	. . 3 |- ( ( A =/= B /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
23	22	3impb 1134	. 2 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
24		df-tp 3406	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } )
25	24	funeqi 4942	. 2 |- ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } <-> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
26	23, 25	sylibr 132	1 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   =/= wne 2245   _Vcvv 2601   u. cun 2971   i^i cin 2972   (/)c0 3251   {csn 3398   {cpr 3399   {ctp 3400   <.cop 3401   dom cdm 4363   Fun wfun 4916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-tp 3406  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-fun 4924

This theorem is referenced by:  fntp  4976