Theorem disjsn2 3455

Description: Intersection of distinct singletons is disjoint. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn2	|- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Proof of Theorem disjsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 3416	. . . 4 |- ( B e. { A } -> B = A )
2	1	eqcomd 2086	. . 3 |- ( B e. { A } -> A = B )
3	2	necon3ai 2294	. 2 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
4		disjsn 3454	. 2 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. { A } )
5	3, 4	sylibr 132	1 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1284   e. wcel 1433   =/= wne 2245   i^i cin 2972   (/)c0 3251   {csn 3398

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-v 2603  df-dif 2975  df-in 2979  df-nul 3252  df-sn 3404

This theorem is referenced by:  disjpr2  3456  difprsn1  3525  diftpsn3  3527  xpsndisj  4769  funprg  4969  funtp  4972  f1oprg  5188  phplem1  6338  pm54.43  6459  pr2nelem  6460