Theorem fvres 5219

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	|- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

Proof of Theorem fvres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2604	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	brres 4636	. . . 4 |- ( A ( F |` B ) x <-> ( A F x /\ A e. B ) )
3	2	rbaib 863	. . 3 |- ( A e. B -> ( A ( F |` B ) x <-> A F x ) )
4	3	iotabidv 4908	. 2 |- ( A e. B -> ( iota x A ( F |` B ) x ) = ( iota x A F x ) )
5		df-fv 4930	. 2 |- ( ( F |` B ) ` A ) = ( iota x A ( F |` B ) x )
6		df-fv 4930	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota x A F x )
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2138	1 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   |` cres 4365   iotacio 4885   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-res 4375  df-iota 4887  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  funssfv  5220  feqresmpt  5248  fvreseq  5292  respreima  5316  ffvresb  5349  fnressn  5370  fressnfv  5371  fvresi  5377  fvunsng  5378  fvsnun1  5381  fvsnun2  5382  fsnunfv  5384  funfvima  5411  isoresbr  5469  isores3  5475  isoini2  5478  ovres  5660  ofres  5745  offres  5782  fo1stresm  5808  fo2ndresm  5809  fo2ndf  5868  f1o2ndf1  5869  smores  5930  smores2  5932  tfrlem1  5946  rdgival  5992  rdgon  5996  frec0g  6006  frecsuclem1  6010  frecsuclem2  6012  frecrdg  6015  addpiord  6506  mulpiord  6507  fseq1p1m1  9111  iseqfeq2  9449  shftidt  9721  climres  10142  eucialgcvga  10440  eucialg  10441