Theorem fznlem 9060

Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fznlem	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M -> ( M ... N ) = (/) ) )

Proof of Theorem fznlem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 8355	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2		zre 8355	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
3		lenlt 7187	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
4	1, 2, 3	syl2an 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
5	4	biimpd 142	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> -. N < M ) )
6	5	con2d 586	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M -> -. M <_ N ) )
7	6	imp 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> -. M <_ N )
8	7	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> -. M <_ N )
9		simplll 499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> M e. ZZ )
10	9	zred 8469	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> M e. RR )
11		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
12	11	zred 8469	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
13		simpllr 500	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> N e. ZZ )
14	13	zred 8469	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> N e. RR )
15		letr 7194	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> M <_ N ) )
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1169	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> M <_ N ) )
17	8, 16	mtod 621	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) /\ k e. ZZ ) -> -. ( M <_ k /\ k <_ N ) )
18	17	ralrimiva 2434	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> A. k e. ZZ -. ( M <_ k /\ k <_ N ) )
19		rabeq0 3274	. . . 4 |- ( { k e. ZZ | ( M <_ k /\ k <_ N ) } = (/) <-> A. k e. ZZ -. ( M <_ k /\ k <_ N ) )
20	18, 19	sylibr 132	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> { k e. ZZ | ( M <_ k /\ k <_ N ) } = (/) )
21		fzval 9031	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M ... N ) = { k e. ZZ | ( M <_ k /\ k <_ N ) } )
22	21	eqeq1d 2089	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M ... N ) = (/) <-> { k e. ZZ | ( M <_ k /\ k <_ N ) } = (/) ) )
23	22	adantr 270	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( ( M ... N ) = (/) <-> { k e. ZZ | ( M <_ k /\ k <_ N ) } = (/) ) )
24	20, 23	mpbird 165	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( M ... N ) = (/) )
25	24	ex 113	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M -> ( M ... N ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   {crab 2352   (/)c0 3251   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   RRcr 6980   < clt 7153   <_ cle 7154   ZZcz 8351   ...cfz 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-ltwlin 7089

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-neg 7282  df-z 8352  df-fz 9030

This theorem is referenced by:  fzn  9061