Theorem fznlem 9060

Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fznlem	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑀...𝑁) = ∅))

Proof of Theorem fznlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 8355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		zre 8355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		lenlt 7187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2an 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
5	4	biimpd 142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
6	5	con2d 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
7	6	imp 122	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
8	7	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
9		simplll 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	zred 8469	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
11		simpr 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11	zred 8469	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
13		simpllr 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	zred 8469	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		letr 7194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1169	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))
17	8, 16	mtod 621	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
18	17	ralrimiva 2434	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ∀𝑘 ∈ ℤ ¬ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
19		rabeq0 3274	. . . 4 ⊢ ({𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅ ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ¬ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
20	18, 19	sylibr 132	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅)
21		fzval 9031	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)})
22	21	eqeq1d 2089	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀...𝑁) = ∅ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅))
23	22	adantr 270	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝑀...𝑁) = ∅ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅))
24	20, 23	mpbird 165	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) = ∅)
25	24	ex 113	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑀...𝑁) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  {crab 2352  ∅c0 3251   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℝcr 6980   < clt 7153   ≤ cle 7154  ℤcz 8351  ...cfz 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-ltwlin 7089

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-neg 7282  df-z 8352  df-fz 9030

This theorem is referenced by:  fzn  9061