Theorem rabeq0 3274

Description: Condition for a restricted class abstraction to be empty. (Contributed by Jeff Madsen, 7-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
rabeq0	|- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. x e. A -. ph )

Proof of Theorem rabeq0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imnan 656	. . 3 |- ( ( x e. A -> -. ph ) <-> -. ( x e. A /\ ph ) )
2	1	albii 1399	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> -. ph ) <-> A. x -. ( x e. A /\ ph ) )
3		df-ral 2353	. 2 |- ( A. x e. A -. ph <-> A. x ( x e. A -> -. ph ) )
4		sbn 1867	. . . 4 |- ( [ y / x ] -. ( x e. A /\ ph ) <-> -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
5	4	albii 1399	. . 3 |- ( A. y [ y / x ] -. ( x e. A /\ ph ) <-> A. y -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
6		nfv 1461	. . . 4 |- F/ y -. ( x e. A /\ ph )
7	6	sb8 1777	. . 3 |- ( A. x -. ( x e. A /\ ph ) <-> A. y [ y / x ] -. ( x e. A /\ ph ) )
8		eq0 3266	. . . 4 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. y -. y e. { x e. A | ph } )
9		df-rab 2357	. . . . . . . 8 |- { x e. A | ph } = { x | ( x e. A /\ ph ) }
10	9	eleq2i 2145	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. A | ph } <-> y e. { x | ( x e. A /\ ph ) } )
11		df-clab 2068	. . . . . . 7 |- ( y e. { x | ( x e. A /\ ph ) } <-> [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
12	10, 11	bitri 182	. . . . . 6 |- ( y e. { x e. A | ph } <-> [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
13	12	notbii 626	. . . . 5 |- ( -. y e. { x e. A | ph } <-> -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
14	13	albii 1399	. . . 4 |- ( A. y -. y e. { x e. A | ph } <-> A. y -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
15	8, 14	bitri 182	. . 3 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. y -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
16	5, 7, 15	3bitr4ri 211	. 2 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. x -. ( x e. A /\ ph ) )
17	2, 3, 16	3bitr4ri 211	1 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. x e. A -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   [wsb 1685   {cab 2067   A.wral 2348   {crab 2352   (/)c0 3251

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-nul 3252

This theorem is referenced by:  rabnc  3277  rabrsndc  3460  ssfilem  6360  diffitest  6371  iooidg  8932  icc0r  8949  fznlem  9060  ioo0  9268  ico0  9270  ioc0  9271